동차 변환을 고려해 보겠습니다. 프레임 A, 프레임 B, 그리고 점 P가 있다고 가정해 봅시다.00:00

프레임 B에서 점 P는 이 벡터로 표현될 수 있습니다.00:06

A프레임에서는 이 벡터로 표현할 수 있습니다.00:11

프레임 A를 기준으로 프레임 B의 위치는 또 다른 벡터 T를 사용하여 표현할 수 있습니다.00:15

지금은 벡터 P가 B에 존재한다고 가정하고, 이 벡터 P를...00:23

그래서 이 벡터를 간단한 벡터 합으로 얻을 수 있도록 이 PA가 될 것입니다.00:30

이 벡터에 이 벡터를 더하는 것인데, 두 벡터 모두 프레임 A에 있어야 합니다.00:36

벡터는 이미 프레임 A에 있지만, 이 벡터는 프레임 A에 없기 때문에 프레임 A에 맞춰줘야 합니다.00:42

이것을 프레임 A로 변환하려면, 사실 회전만 하면 됩니다. 프레임 안에서 이 점을 회전시키기만 하면 되는 거죠.00:46

이는 이 t 값과 이 pb 값을 더하여 회전시켜 프레임을 구성할 수 있습니다. 이를 좀 더 표현하기 쉽게 나타낼 수 있습니다.00:52

컴팩트합니다.00:59

여기서 pa는 회전 행렬에 pb를 곱한 것과 같다는 의미입니다. 왜냐하면 이처럼 표현되기 때문입니다.00:59

그리고 이것에 t 배 곱하기 1, 즉 이 1과 여기 마지막 행이 있습니다.01:07

하나, 011입니다.01:14

정확성을 위해, 이 첫 번째 요소를 티알드(tilde)와 함께 '파(pa)'라고 부르겠습니다.01:15

틸드(~)가 포함된 텍스트도 있습니다.01:22

그리고 이들은 동차 좌표라고 불립니다. 따라서 벡터를 가질 때, a1을 더해줍니다.01:24

이는 동차 좌표라고 불리는 4차원 벡터이며, 이 행렬은 그것과 관련됩니다.01:31

이것을 동차 변환 행렬이라고 부릅니다. 동차 변환 행렬은요.01:37

변환 행렬은 위치와 방향을 나타내며, 이를 자세 변환이라고 합니다.01:45

프레임과 프레임 간의 상대적인 위치를 나타내는 것으로, 이러한 구성 요소들을 포함하고 있습니다.01:50

회전 부분이며, 이 부분은 번역 부분입니다. 혹은 간결하게 표현하면 이렇습니다.01:56

이것은 R입니다, 이것은 T입니다, 그리고 이것은 항상 0입니다. 사실, 0, 0, 0이고, 이것은...02:00

음, 항상 하나이고, 이 두 가지는 변하지 않습니다. 단지 'r'과 't'만 회전 및 이동에 따라 바뀔 뿐입니다.02:06

이것은 위치 수학, 특히 SE3 그룹에 속하며, 이는 특수한 유클리드 공간, 즉 데카르트 좌표계를 의미합니다.02:12

R3 위치와 SO3 지향 사이의 제품은 또한 그렇게 볼 수 있습니다.02:19

투영 기하학적인 관점에서는, 하지만 이 과정에서 투영 생물학에 대해서는 다루지 않을 겁니다.02:25

순수한 변환은 이런 식으로 됩니다. 이건 순수한 회전인데, 병진 이동이 없기 때문이고, 이건 순수합니다.02:32

회전이 없기 때문에 번역이 필요합니다. 하지만 회전이 없다고 해서 이것이 영(0)이라는 의미는 아니니 주의해 주세요.02:38

이것이 바로 그 정체성이라는 뜻입니다.02:45

네, 그렇다면 순수한 변환으로 계속해서 X축 회전은 동일할 것입니다.02:49

X축 회전은 괜찮지만, 여기에 번역은 없고 Y축 회전도 번역이 안 되고 Z축 회전도 안 됩니다.02:52

번역과 순수 번역은 여기에서 동일성을 가지며, 만약 이것이 X로의 번역이라면 여기에서 D가 X에 나타날 것입니다.02:57

만약 이것이 Y에 있다면, D도 Y에 있습니다. 만약 이것이 Z에 있다면, D도 Z에 있습니다.03:05

변환이 고정 좌표계에 대해 적용될 때, 합성 결과는 회전 행렬을 사용하는 경우와 완전히 동일합니다.03:09

그렇다는 것은, 미리 곱해야 한다는 의미입니다.03:17

현재 프레임, 모바일 또는 새로운 프레임을 기준으로 적용할 경우, 뒤에서 곱해야 합니다.03:20

예를 들어, 프레임 A를 X축을 기준으로 90도 회전시킨 후, 벡터로 이동한다고 가정해 보겠습니다. 이 벡터는요, 03:27

고정 프레임 또는 초기 프레임에 대해, A에 대한 B의 동차 변환을 찾고 싶습니다.03:34

그래서 먼저 X축을 기준으로 90도 회전하고, 그 다음에 평행 이동을 합니다. 즉, 먼저 회전을 하고요.03:40

고정 좌표계에 대해 변환을 할 때요, 고정 좌표계에 대해 변환한다는 것은, 미리 곱셈을 한다는 뜻이에요. 그러니까, 먼저 회전을 하고, 그다음에 미리 곱하는 거죠.03:47

번역의 경우에는 그냥 여기 숫자를 치환하면 이렇게 됩니다.03:54

또 다른 예시를 통해 동차 변환을 찾는 것을 살펴보겠습니다.03:59

알파 각도의 회전과 함께 B를 따라 번역하는 것을 의미합니다.04:03

새로운 X축에 이어서 새로운 축을 따라 D만큼의 이동이 이루어집니다.04:08

그리고 새로운 축을 중심으로 회전이 일어납니다. 보시다시피 모든 것이 새로운 축에 관해서입니다. 그래서 항상 후행 곱셈이 됩니다.04:12

먼저 승후 곱셈, 승후 곱셈, 그리고 승후 곱셈입니다.04:17

이것만 작동시키시면 그 매트릭스에서 벗어나세요. 이제 이걸 이용해서 균질적으로 분해할 수 있습니다.04:21

두 개의 행렬로의 변환입니다. 하나는 번역(translation)이고, 다른 하나는 회전(rotation)입니다.04:27

쉽게 확인하실 수 있습니다.04:33

R 곱하기 항등원과 0을 더한 값입니다. 즉, R과 항등원 곱하기 0, 그리고 더하기...04:35

번역만 부탁드립니다. 간단하게, T만으로요.04:41

이전의 사전 곱셈 구성들을 활용하여.04:44

곱셈 이후의 변환에 대해 두 가지 해석이 가능합니다.04:48

첫 번째 해석은 우리가 T 단위의 번역을 이 부분에 적용한다는 것입니다.04:54

그리고 나서 이 새로운 좌표계를 기준으로 회전을 적용합니다.04:58

다른 하나는 다른 것 같습니다.05:03

해석은 회전을 기준으로 시작되므로, 먼저 회전을 적용한 후에 다른 작업을 진행하게 됩니다.05:06

원래 시스템을 존중하면서 고정 좌표계를 기준으로 번역을 수행합니다.05:10

균질 변환(homogeneous transformations)은 물체의 자세(자세 위치 및 방향)를 나타냅니다.05:17

다른 프레임에 관해서도 점이 표현되는 기준 프레임이 함께 변화합니다.05:23

이것은 점 B이고, 이 동차 변환 행렬이 이 점 B를 변환합니다.05:28

이제 A 프레임으로 옮겨서, 점을 동차 좌표를 사용하여 표현해야 합니다.05:34

따라서, 마지막에 1을 추가하고 균일한 값을 사용할 때의 표기법을 명시해야 합니다.05:40

좌표는 이 물결표시고, 세 번째 용도는 변환을 적용하는 것입니다.05:45

회전과 이동을 같은 기준 프레임의 한 점에 적용하는 것이죠.05:50

이 세 가지 용도가 회전 행렬이 가진 용도와 동일하다는 점은 분명하지만, 이번 경우에는 다릅니다.05:53

번역을 추가하고 있습니다. 예시를 한번 살펴보겠습니다. 프레임 A와 B를 고려해 보면, 이 두 프레임은 지시하고 있습니다.06:00

프레임 b에서의 p 좌표는 이 값들로 주어지고 있습니다. 프레임 a에 대한 좌표를 찾고 싶어합니다.06:07

따라서, 먼저 이 값들을 동차 좌표로 변환한 다음 값을 치환해야 합니다.06:14

점 p의 값을 대체한 다음, 이것은 b에서 a로의 변환 과정입니다. 그 이유는…06:20

xb은 여기 있습니다. Y 마이너스에 위치하고 있습니다. YB는 X에 있습니다. 따라서 YB는 X에 있습니다.06:27

그리고 ZB는 Z와 동일하므로, ZB도 마찬가지입니다. 자, 이제 원점입니다.06:33

X에서는 영하 4도이며, 따라서 영하 4도입니다.06:39

Y, A에서는 6이고, 그래서 6개가 있습니다. 그리고 Z에서는 Z가 없어서 그냥 0으로 하겠습니다.06:42

그리고 나서 주어진 이 값을 이용해서 다른 숫자를 대입하면 이 결과가 나옵니다.06:48

여기서 X에 -4가 있으므로 그래프적으로 확인하실 수 있습니다.06:53

X에서는 -4이고, Y에서는 4이며, 그리고 이것은 2였습니다. 따라서 6에서 2를 빼면 됩니다.06:59

Z 값이 4이고, Z 방향으로 1이 있습니다. 여기 1이 있으므로 Z 방향으로 1이 있고, 그다음에...07:05

마지막 벡터를 가지게 됩니다. 이 경우에는 이 벡터는 단순히...07:11

균일한 표현 방식에 대해 살펴봅시다. 두 번째 예시로 프레임 A가 있다고 가정해 보겠습니다.07:16

먼저 회전된 후, 초기 프레임에 맞춰 번역됩니다.07:21

먼저 회전시킨 다음, 초기점을 기준으로 고정된 위치로 번역합니다.07:25

프레임을 미리 곱한 후, 특정 점을 고려합니다.07:29

새로운 프레임이고, 그 점의 초기 프레임에 대한 좌표를 결정하고 싶습니다. 따라서 이 변환은 A에 대한 B입니다.07:34

이 점은 B에 있으므로, 이 변환으로 곱해주면 됩니다. 이것이 바로 첫 번째입니다.07:41

변환을 진행한 후에는 이 값에 곱해야 할 지점이 있습니다.07:45

이 요소를 통해 변환을 수행하면 벡터에 따라 프레임이 이동합니다.07:49

6에서 10을 빼고, 그런 다음 고정 프레임을 기준으로 회전했습니다. 이 경우에는 이것이...07:54

반대로, 먼저 번역한 다음 고정된 것을 기준으로 회전시킵니다.07:59

회전은 현재 이 번역에 곱해지고 있습니다. 다시 점을 얻게 되었습니다.08:03

새로운 프레임과 관련하여 말씀드리면, 문제점은 이전과 완전히 동일합니다. 저희는 동일하게 처리해야 합니다.08:07

이것을 적용하면 변환 지점을 대체해야 하고, 그냥 대체하면 됩니다.08:11

여기에서 이 결과를 확인하시면 벡터가 다름을 알 수 있습니다.08:15

한 가지 이유는 이것이 다시 교환 법칙을 만족하지 않기 때문입니다. 회전, 평행이동, 또는 동차 변환과 같은 것들도 교환 법칙을 만족하지 않죠.08:20

먼저 동차 변환의 역방향에 대해 살펴보겠습니다.08:26

만약 이것이 동차 변환이라면, 그 역은 이 식과 같습니다.08:31

전치 행렬이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 동차 변환의 경우...08:36

역변환은 전치행렬과 다르다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 이 표현이 그렇기 때문입니다.08:39

점 B를 표현하고 싶을 때, 다음과 같이 생각해 봅시다.08:45

A에 대한 거죠, 그리고 처음에 우리가 얻었던 식입니다. 지금은 제가08:50

P in B를 구하고 싶습니다. 반대 문제를 풀고 싶거든요. 이 P가 주어졌을 때08:54

B에서 P를 찾기 위해, 우선 회전을 적용하고 곱해야 합니다.09:00

이 문제를 풀고 계신 겁니다. 그러면 이 결과값이 나오게 되죠.09:06

다시 균일 변환을 사용하여 표현할 수 있습니다.09:11

이것 역시 동차 변환을 사용하여 표현할 수 있습니다. 이 경우 순서를 재배열하면 이러한 항들이 이것과 정확히 일치한다는 것을 알 수 있습니다.09:16

왜냐하면 점 A는 회전 행렬의 전치 행렬로 표현되는 것일 뿐입니다.09:22

번역을 위해 이 R 전치를 빼서 사용하게 되었습니다.09:28

번역은 빼기를 한 전치행렬입니다. 여기서 중요한 건 역함수가 전치행렬이 아니라는 걸 기억해야 한다는 거예요.09:31

이 식을 통해 주어지거든요.09:36

동차 변환의 곱입니다.09:40

R들을 곱하고, 회전 변환을 적용합니다. 그리고 병진 변환의 경우, 첫 번째 변환을 적용하고, 두 번째 변환은 회전을 적용합니다.09:43

첫 번째의 경우에 그렇습니다. 하지만 컴퓨터로 그렇게 하시면 행렬을 곱하는 작업만 수행하게 되므로 이 표현식에 너무 많은 관심을 두지 않으실 겁니다.09:50

다시 한번 말씀드리지만, 이는 교환 법칙이 성립하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 예시를 하나 고려해 보겠습니다. 이 예시에서는 로봇, 컨베이어 벨트, 그리고 물체가 있습니다.09:57

그리고 저희는 여러 부위에 각각 다른 기준 프레임을 연결해 놓았습니다.10:04

여기에서 보시는 것처럼 저희가 알고 있는 부분도 있기는 하지만, 아직 모르는 부분도 있습니다.10:08

예를 들어, 로봇의 기준 좌표에 대한 물체의 자세를 저희가 알지 못하고, 그것을 찾아야 하는 상황입니다.10:13

그리고 저희는 또한 엔드 이펙터에 대한 물체의 자세를 정확히 알지 못하고, 또 원하기도 합니다.10:20

그것을 확인하기 위해. 그러면 베이스에 대한 이 객체와 엔드 이펙터에 대한 이 객체를 원하게 됩니다.10:23

이걸 이해하고 싶다면, 우선 적어도 기본적인 이해는 되어야 합니다.10:29

이 엔드 이펙터 프레임을 객체의 프레임과 일치하도록 만들려면요.10:36

지금 현재, 무엇을 알고 있습니까? 우리는 W에 대한 벨트와 로봇 베이스의 변환을 알고 있습니다.10:41

저희도 이것을 알고 있습니다. 또한 벨트에 따른 객체에 대해서도 알고 있습니다.10:46

벨트와 관련하여의 객체 및 베이스와 관련하여의 엔드 이펙터입니다.10:50

기본 좌표계를 기준으로 객체의 자세를 파악하고 싶습니다. 기본적으로 객체의 자세를 기준 좌표계에 대해 알아내려고 합니다.10:54

이제, 동차 변환의 조합을 이용하여, 이러한 무언가를 찾아보고 싶을 수도 있습니다.10:59

W를 기준으로 하는 객체, 그리고 B를 기준으로 하는 W는 서로 상쇄되어, 결국 B를 기준으로 하는 O가 남게 됩니다.11:04

하지만 데이터상으로는 정확히 그런 정보가 없는 관계로, 가지고 있는 요소들을 활용해야 할 것 같습니다.11:10

W에 관해서 B를 가지고 있습니다만, 동일하지만, 이 경우에는 역과정을 적용해야 합니다.11:15

이 경우에는 F를 중간 프레임으로 활용하여 적용할 수 있습니다. F가 여기 있으니까, 이것이 해결책이 되겠습니다.11:22

이것이 해결책이 될 것 같습니다.11:29

다음 사례에서는 엔드 이펙터에 관하여 객체를 찾아야 하는데, 어떤 방식으로든 그걸 고려해야 할 것 같습니다.11:30

W를 중간 프레임으로 활용해서, 그런 다음 제가 알고 있는 변수들을 직접 풀어볼 수 있을 것 같습니다.11:37

결국 이렇게 표현이 나오게 되는데, 여기서 중요한 점은 제가 알고 있는 프레임만 사용해야 한다는 것입니다.11:44

다른 프레임을 사용하지 않도록 하기 위해,요11:49

마지막 예시로 테이블, 로봇, 물체, 그리고 카메라가 있습니다.11:53

그리고 이 물체들에 부착된 몇몇 프레임들이 있으며, 이러한 프레임을 조작할 수 있도록 변환을 찾아야 합니다.11:57

예시를 읽어보시고, 아래에 제시된 답은 검토를 통해 얻은 결과입니다. 이 방법을 통해 관련된 내용을 찾을 수 있습니다.12:02

각 프레임을 서로에 대해 변환하는 동차 변환을 의미합니다.12:07

이것은 회전이고, 이것은 번역입니다. 여기서 거의 모든 것을 쉽게 확인하실 수 있습니다.12:12

한 미터, 두 미터니까, 쉽게 확인하실 수 있고, 그 후에 찾으실 수 있습니다.12:17

곱셈을 수행하고, 변환의 조합을 사용하여 결과를 찾아보세요.12:24

여기서 중요한 점은 방향을 세 개 또는 네 개의 매개변수로 표현할 수 있다는 것입니다.12:30

최소 표현 방식으로는 오일러 각, 로프 각, 그리고 축 각 등이 있습니다.12:34

단순히 세 가지 요소만을 사용하지만, 특이점이 존재합니다. 쿼터니언은 네 개의 구성 요소를 사용하며, 특이점이 없습니다.12:41

그리고 그것들은 회전을 표현하는 선호되는 방식입니다. 동차 변환은 위치와 방향 모두를 나타냅니다.12:46

그리고 로봇공학에서 매우 중요하게 사용된답니다.12:53