안녕하세요, 여러분. 엔지니어링 정역학 강의 비디오 시청 다시 환영합니다.00:00

자, 이제 시작하기 전에, 여러분 모두 잘 지내고 계시고, 두 번째 주를 잘 보내고 계시며, 즐겁게 지내고 계시길 바랍니다.00:04

엔지니어링은 정말 열정적인 일입니다. 아주 즐거워야 합니다. 여러분이 웃지 않는다면, 잘못하고 있는 거에요.00:10

흠, 솔직히 말씀드리면 여러분은 1학년이시잖아요. 웃고 계시지 않을 가능성이 높을 것 같습니다.00:15

안타깝게도, 계속 웃고 계신다면 그 미소는 사라질 가능성이 높습니다. 왜냐하면 이 주제에서는 저희가 소개를 시작하기 때문입니다.00:20

첫 번째 종류의 도로 요철에 비하면, 학생들은 좀 더 민감하게 반응할 것 같습니다.00:27

이 강의와 관련해서 말씀드리면, 학생들이 어려워하는 주제 중 가장 첫 번째라고 할 수 있습니다.00:30

이해하는 데 어려움을 겪으시는 경우가 많고, 시험에서 이 부분은 특히 어려워하시는 것 같습니다.00:35

최대한 이해하기 쉽고 명확하게 설명해 드리려고 노력하겠습니다. 부디 잘 이해하시고, 좋은 결과 있으시길 바랍니다.00:39

중간고사 보러 가야 돼요. 말씀드린 것처럼, 이번 학기는 제가 강의를 하지 않아서 정말 좋네요, 혹은 그렇게 생각해요.00:44

이번 학기에 해당 과목을 맡지 않게 되어, 기말고사 및 중간고사 관련 조언을 드릴 수 있게 되었습니다.00:50

만약 제가 가르치고 있었다면 좋았을 텐데, 지금은 제가 입을 다물어야 할 것 같습니다. 문제가 생길 수도 있으니까요. 지금은 가르치고 있지 않아서, 여러분께 알려드릴게요.00:56

알버타 대학교에서 일반적으로 첫 번째 비밀은... (알버타 대학교에서 첫 번째 비밀이 보통... 라고 할 수 있겠네요.)01:03

여기서 저희는 지금 두 번째 주에 진행하고 있는 중간고사 관련 내용입니다.01:07

3차원 데카르트 벡터에 관해서, 중간고사 첫 번째 부분은 이 주제에 집중될 예정입니다.01:11

결과적인 힘 또는 질문의 첫 번째 부분에서 결과를 찾는 것을 의미합니다.01:17

이전 두 편의 영상에서 말씀드렸듯이, 힘을 찾는 건 문제가 되지 않아요.01:20

이제 첫 번째 문제의 두 번째 절반은 이와 관련이 있을 겁니다.01:24

점곱과 투영에 대해 알아볼까요. 다시 이전 내용을 살펴보면요.01:29

우리가 이야기했던 두 개의 비디오에서 데카르트 벡터를 3차원에서 다루었었고, 세 개의 벡터가 있을 것이라고 말씀드렸습니다.01:36

우리가 고려해야 할 가능한 시나리오들이 있으며, 이 3차원 벡터들의 구성 요소를 계산해야 합니다.01:41

제가 첫 번째 사례라고 부르는 것은, 3차원 공간에서 힘 벡터를 제시해 드릴 때 발생하는 경우입니다.01:46

두 각을 알려주십니다. 첫 번째는 힘 벡터가 xy 평면과 이루는 각도입니다.01:51

그리고 두 번째 각도 세타 2는 그 xy 평면 안쪽의 각도가 될 것입니다.01:57

이것은 조금 까다로운 편이라고 말씀드렸지만, 좋은 계산 방식이 있습니다.02:03

우리는 그것을 할 수 있고, 네 가지 계산에서 모든 구성 요소를 찾을 수 있습니다.02:06

썩 나쁘지 않습니다. 두 번째 경우는 좌표 방향 각도 문제로, 가장 쉽게 풀 수 있는 경우입니다.02:10

이 경우에는 벡터에 대한 세 개의 좌표각, 알파, 베타, 감마가 주어집니다.02:15

만약 이러한 경우라면, 각 구성 요소에 대한 공식들이 존재합니다. 우리는 그냥 모든 것을 대입하면 됩니다.02:20

네, 준비되었습니다. 이전 영상에서는 세 번째 내용인 위치 벡터에 대해 말씀드렸었는데요.02:25

이 특정 경우에는 각도가 주어지지 않고, 대신 힘 벡터의 작용 방향을 따라 두 점이 주어졌습니다.02:30

이게 조금 무섭게 보일 수도 있다고 말했지만, 사실 그렇게 나쁘지 않아요. 다시 한번 중간고사를 예로 들어볼 때, 첫 번째...02:36

질문의 첫 번째 절은 보통 이 힘들을 성분으로 분해하여 해결하는 것입니다.02:43

더해서, 말씀하시는 세 가지 경우 중 하나가 될 거예요, 아시죠?02:48

클레이튼, 아주 쉽네요. 기말 시험 준비가 됐어요, 적어도 첫 번째 문제에 대해서는요. 바로 이 때 제가02:52

잠시만요, 그 첫 번째 질문에서 그들이 आपसे 두 가지 다른 것을 더 여쭤보실 거예요.02:57

첫 번째 질문은, 두 벡터 사이의 각도가 무엇인지 묻는 거예요. 그래서 우리는 각도에 대해 많이 이야기했죠.03:02

벡터가 축과 이루는 각도에 대해, 두 벡터 사이의 각도는 어떻게 되나요?03:08

그것이 저희가 가장 먼저 다룰 내용이 될 것 같습니다. 그리고 두 번째는, 구성 요소가 무엇인지 살펴보겠습니다.03:13

임의의 방향일까요? 직교 좌표계로 표시된 힘 벡터를 가지고 있다면, x, y,03:18

그리고 z축 성분들도요. 하지만 교수님께서 비웃으시면서 괜찮다고 말씀하실 수도 있겠네요.03:25

x, y, z에 대해서는 알겠는데, 임의의 방향에서는 어떻게 될까요? 학생들이 어려워하기 시작하는 부분이 바로 거기입니다.03:29

임의의 방향을 도입할 때가 그 어려움이 시작되는 거고, 그게 이 비디오의 두 번째 절반에 해당합니다.03:34

이 모든 것들의 핵심은 사실 '닷 프로덕트'라는 것을 활용하는 것입니다.03:40

이 점곱셈이 주요 시험 문제 중 하나가 될 것 같습니다.03:45

2차원에서는 각도와 벡터가 이루는 각을 결정하기가 매우 쉬운데, 왜냐하면 2차원이기 때문입니다.03:49

시각화하기가 아주 쉽고, 그림으로 그려서 삼각함수를 활용하면 각도를 찾을 수 있습니다.03:54

하지만 3D에서는, 음, 좀 불편해요. 3차원 공간이라서요. 그림으로 표현하기가 정확히 쉽지 않고, 분석하기도 어려워요.03:58

그럼 3D에서는 무엇을 할까요? 음, 사실 '닷 프로덕트'라고 불리는 것을 사용합니다, 네.04:05

내적, 내적, 내적입니다. 여러분께서 내적과 각도를 연관짓게 하고 싶습니다. 괜찮으신가요?04:11

각도 질문을 보게 된다면, 내적을 생각하세요. 아마 제가 그 내용을 머릿속에 각인시켰기를 바랍니다.04:17

어쩌면 조금 귀찮으실 수도 있고, 죄송합니다만, 꼭 기억해 주셨으면 합니다.04:21

클레이튼 씨, 아마 여러분 중에 제가 너무 과장하고 있다고 말씀하시는 분들도 계실 겁니다. 그런데 점곱이 정확히 무엇인가요?04:25

음, 사실 아주 간단한 공식인데, 벡터 A와 벡터 B를 내적으로 하는 것입니다.04:30

이제 이것은 A의 크기에 B의 크기를 곱한 값에 코사인 세타를 곱한 것과 같습니다.04:37

음, 여러분 아마 클레이튼, 그럼 뭐가 특별한데요? 라고 말씀하실 수도 있을 텐데요. 음, 이 공식의 아주 오른쪽 부분을 보면, थीटा가 있죠.04:43

그리고 그 세타는 벡터 A와 벡터 B 사이의 각도가 됩니다.04:50

이 공식을 사용하면 두 벡터 사이의 각도를 실제로 구할 수 있는데, 제가 말씀드린 것처럼요.04:56

첫 번째 질문에 답해야 하는 문제들이 있을 때, 가장 먼저 고려해야 할 사항이라고 생각합니다.05:01

만약 여기 두 벡터 A와 B가 있다고 가정했을 때, 이 둘 사이의 각도, 즉 세타를 구하고 싶다면요.05:04

내부 곱을 사용하려고 합니다. 그리고 여러분은 '그래요, 클레이튼, 그거 쉽네요.'라고 말씀하시는군요.05:11

오른쪽을 보면 A의 크기를 확인할 수 있습니다. 저는 크기를 찾는 방법을 알고 있습니다.05:15

B 벡터의 크기는 아주 간단합니다. 세타의 코사인 값은, 계산기가 있으니 알 수 있겠네요.05:19

잠깐만요, 왼쪽 부분은요? 이제 조금 까다로워지기 시작하네요.05:26

A와 B의 내적을 어떻게 계산하는지요?05:30

음, 사실 정말 간단해요. 겉보기에는 안 좋게 보일 수 있지만, 굉장히 단순합니다.05:34

생각해보면, 사실 대부분의 공학이 그렇다고 할 수 있겠네요. 겉보기에는 정말 안 좋아 보이지만, 실제로는요.05:38

꽤 간단합니다. 따라서 a와 b라는 두 벡터를 정의한다면, a 닷 b는 간단히…05:42

각각의 구성 요소들을 서로 곱한 후 모두 더하는 것입니다.05:49

네, 그렇습니다. 이제 Clayton 님께서 말씀하시는데, 어머, 어머, 어머, 조금 빠르게 말씀하시는 것 같습니다.05:53

무슨 말씀을 하신 건지 정확히 다시 여쭤봐도 될까요? 음, 저희가 할 일은 두 x축 성분들을 곱하는 것뿐입니다.05:58

두 개의 y 성분들을 곱하고, 두 개의 z 성분들을 곱하겠습니다.06:04

그리고 나서요.06:11

자, 이제 모든 것을 합쳐서 정리해 드리겠습니다. 요약하자면, 여기 있습니다.06:12

만약 모든 구성 요소를 다 합쳐서 세 개로 만든다면, 이런 종류의 문제가 발생할 수 있습니다.06:19

분리된 묶음을 모아서 합치면 하나의 결과가 나올 것입니다.06:23

네, 단 하나의 숫자가 됩니다. 왜냐하면 모두 더하고 있기 때문이죠. a 곱하기 b는06:28

실제로 스칼라 값을 내놓습니다. 벡터를 내놓지는 않아요. 스칼라 값을 내놓고, 보시면 아시겠지만요.06:33

이 슬라이드 제목에서, 그 점을 약간 암시하는데, 왜냐하면 점곱을 다른 말로 스칼라 곱이라고도 부르기 때문입니다.06:39

네, 혹시 여러분이 내적을 해서 벡터를 구했다면, 아마 어떤 실수가 있었던 것 같습니다.06:45

네, 스칼라 값과 공식을 생성해야 합니다. 보시다시피, 너무 어렵지 않네요.06:50

자, 이제 점곱셈과 관련해서 첫 번째 팁을 말씀드리겠습니다.06:55

그리고 제가 알기로는 많은 교수님들이 이 점을 언급하는 것을 잊으시는 경우가 많아서, 학생들이 많이 혼란스러워하는 것 같습니다.06:59

학생 여러분, 만약 a가 힘 벡터이고 b가 위치 벡터라면, a와 b 두 벡터 간에 내적을 수행할 수 있습니다.07:03

벡터입니다.07:10

아닙니다, 괜찮습니다. 그렇게 할 수 있습니다. a가 단위 벡터이고 b가 힘 벡터라면, 또 괜찮습니다. 그렇게 할 수 있습니다.07:11

두 벡터가 정확히 동일한지 확인하는 것에 대해 걱정하지 않으셔도 됩니다.07:18

다음 슬라이드에서 그 이유에 대해 좀 더 자세히 말씀드리겠습니다. 자, 이제 마지막으로 작은 팁 하나를 살펴보겠습니다.07:22

음, 그게 관련된, 아니, 분배적인, 저는 항상 그런 단어들을 잊어버리네요. 그리고 저희는 ~하러 가려고 합니다.07:27

다음 슬라이드에서 그 점에 대해 더 자세히 말씀드리겠지만, 기본적으로 a.b는 동일하게 적용될 예정입니다.07:34

걱정하실 필요 없이 순서대로 진행하실 필요가 없고, 매우 간단합니다.07:39

곱해지는 공식 좀 보세요. 두 개의 x 성분들을 곱하고 있는데, 순서가 어떻든 상관없습니다.07:43

세 배하거나, 두 배를 세 번 곱하는 것은 결국 같은 결과가 나올 거예요. 네.07:49

점곱을 살펴볼 때, 여러분 중 일부 분들은 아마 '클레이튼, 이게 잘 모르겠어요. 좀 어렵게 느껴져요.'라고 생각하실 수도 있을 겁니다.07:55

제 눈에는 꽤 수상해 보이시는 것 같아요. 증거를 보여주시겠어요? 물론, 문제 없습니다. 선형대수학 관련 내용이신가요?07:59

내장곱(dot product) 관련된 건 사실 제 전문 분야라고 할 수 있습니다. 고체역학을 가르치기 때문에 아주 잘 알고 있습니다.08:05

이제 익숙해졌는데, 내적은 사실 다양한 증명들이 많이 있습니다. 하지만 제가 하나 보여드리겠습니다.08:10

여러분, 아마도 여러분께서 가장 쉽게 이해하실 만한 내용을 하나 말씀드리겠습니다. 바로, A에서 B로 이동하고 싶을 때, 이동하는 것이라고요.08:15

네, a를 모두 적어 내려갈 것이고, b도 모두 적어 내려서 시작할 텐데요.08:20

지금 모든 것을 곱하고 있는데, 여기서 우리가 실제로 살펴볼 때 염두에 두어야 할 점은...08:25

이런 이야기는 보통 잘 꺼내지 않아요. 혹시라도 궁금해하실 필요는 없지만, 제 경우에는요…08:30

실제로 그들은 벡터이며, 좀 더 구체적으로 말하자면, 셋의 벡터입니다.08:35

예를 들어 좌표계를 말씀드리면, x축은 1, y축은 0, z축은 0이라고 할 수 있습니다.08:40

쉼표 1, 쉼표 0 그리고 k는 0, 0, 1이 될 것입니다.08:47

정말로 알아야 할 필요는 없지만, 이 증명을 이해하려면 이 부분을 아시면 훨씬 더 명확해질 거예요.08:51

자, 그럼 모든 것을 곱해 보면, 대략 이런 결과가 나오게 됩니다.08:56

이건 엉망진창처럼 보이지만, 클레이튼, 증명하는 거니까 더 악화시키지 말라고 하시는 거예요. 죄송하지만 걱정 마세요, 이게 간단해집니다.09:02

점곱을 할 때, 다음과 같은 공식이 있었습니다. a 점 b, 혹은...09:09

두 벡터의 내적은 두 벡터의 크기 곱하기 서로의 크기에 비례합니다.09:14

그리고 코사인 세타를 곱합니다. 제가 말씀드렸듯이, i, j, 그리고 k는 사실...09:19

세 개의 축을 고려하고 있습니다. 따라서 두 개의 벡터가 완전히 동일하고 내적을 한다고 가정해 보겠습니다.09:25

서로의 관계는 결국 1이 된다는 것을 알게 될 텐데요, 그 이유는 그 각도가 서로 같기 때문입니다.09:32

흠, 만약 y축을 기준으로 위쪽으로 올라가서 y축과 이루는 각을 찾으려고 한다면, 음… 그들은요.09:36

거의 똑같죠. 그러니까 두 벡터 사이의 각도는 당연히 제로가 되겠네요. 코사인 제로, 즉 제로와 같거든요.09:43

따라서 I 점 또는 J 점 곱하기 J 점, 혹은 K 점 곱하기 K 점과 같이, 이 경우에는 항상 그 값이 존재할 것이라고 알 수 있습니다.09:48

따라서, 그 세 가지 요소는 바로 제외할 수 있습니다.09:55

자, 다음은 두 축이 서로 같지 않을 때 어떤 일이 발생하는지 알아보겠습니다. 예를 들어, x축을 가져와서 이것과 내적을 한다고 해 보겠습니다.09:58

y축의 경우, 이들 사이의 각도는 항상 90도일 것입니다.10:05

이 부분에서요.10:10

특수한 경우, i.j, j.k, 또는 i.k와 같이 표현될 때, 항상 0으로 같다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면요...10:11

90도입니다. 코사인 값은 90도에서 0이 되므로, 상당 부분을 없앨 수 있습니다.10:18

보시다시피, 저희는 결국 세 가지 구성 요소가 남게 되었습니다.10:23

그게 ax, bx, ay, by, 그리고 az, bz입니다.10:26

그러므로10:31

a.b는 사실 ax 곱하기 bx 더하기 ay 곱하기 by와 같습니다.10:32

아, 시간이 참 빠르네요. 다시 한번, 쉽고 간결하게 말씀드렸습니다.10:39

자, 이제 내적에는 세 가지 속성이 있는데, 음, 제가 말씀드리면 기억해 두시면 좋을 것 같습니다.10:44

하지만 그걸 꼭 기억하실 필요는 없으세요. 마음속에 어딘가에 두고두고 생각하시는 정도면 충분하고, 실제로 시험에 나오는 걸 본 적은 없어요. 솔직하게 말씀드리면요.10:50

여러분, 첫 번째는 교환가능성이라는 뜻인데, 이는 a 닷 b는...10:57

네, 다시 b 곱하기 a와 같다는 것이 제가 지난 슬라이드에서 말씀드린 바로 그겁니다. 제가 확인했습니다.11:01

이름은 물론 틀렸지만, 기억하기에 꽤 괜찮은 일이 될 것 같습니다.11:05

많은 학생들이 순서에 대해 걱정하기 시작할 때를 기억해주세요.11:09

포지션 벡터는 매우 중요합니다. B에서 A로 가든, A에서 B로 가든, 그 방향 벡터들이 서로 반대 방향을 가지거든요.11:12

다른 답변을 드릴 수도 있습니다. 걱정하실 필요 없습니다. A 닷 B는 B 닷 A와 같습니다. 아주 좋네요.11:17

두 번째는 연관 관계를 가집니다. 따라서 스칼라 C를 A 닷 B에 곱한다고 한다면요.11:24

음, 그거랑 똑같은 게 A에 C를 곱한 다음에 B와 내적하는 것과 같은 거에요, 그렇죠.11:30

저도 이 부분은 실제로 테스트된 적이 없는 것 같습니다. 너무 걱정하지 않으셔도 됩니다.11:35

마지막 하나는 분배적인데, 잘 모르겠습니다. 이 세 단어는 제가 제대로 말하기가 어렵네요.11:39

저는 항상 매우 애를 먹습니다.11:44

만약 이 경우가 맞다면, b 더하기 c에 a를 곱하는 것을 의미하는 것 같습니다.11:46

그것은 a 더하기 b 그리고 a 더하기 c 와 같은 것 맞죠. 다시 말씀드리면, 유일하게 중요한 것은요...11:51

기억해야 할 것들 중에서 순서가 중요하지 않다는 점을 말씀드리고 싶습니다. 어떤 순서로든 괜찮습니다.11:56

어떤 식으로든 a에 b를 곱하거나 b에 a를 곱하시면 괜찮을 거예요. 다음 질문으로 넘어가겠습니다.12:00

이제 저에게는 내적의 전문가가 되었으니, 무엇을 할 수 있을까요?12:05

내적에 관해서, 처음에 말씀드린 질문, 즉 두 벡터 사이의 각도에 대한 질문에 먼저 답변드리겠습니다. 아마도 여러분이 이 부분에 대해 어느 시점에서든 접하게 될 것이라고 확신합니다.12:09

알버타 대학교에서 중간고사 준비를 특히 중요하게 생각하시는 분들이 계실 텐데, 혹시 다른 분들도 계신다면 알려주세요.12:16

전 세계 다른 곳에서는 거의 확실히 질문이나 관련 내용 중 하나가 있을 겁니다.12:20

질문의 일부는 두 벡터 사이의 각도가 될 것이며, 이것은 매우 중요합니다.12:24

최소한 교수님들께서 정말 중요하게 여기시는 주제인 것 같습니다. 따라서, 저희가...12:28

제가 설명드릴 내용은 두 벡터 사이의 각도를 내적을 사용하여 구할 수 있다는 것입니다.12:33

자, 이제 힘 벡터와 위치 벡터 사이의 각도를 알고 싶다고 가정해 보겠습니다.12:37

제가 해야 할 일은 제가 이전에 사용했던 특정한 공식대로 진행하는 것뿐입니다. 보시다시피요.12:41

코사인 세타가 좋네요, 제가 계산할 수 있을 것 같습니다. 이제 제가 여기서 정말 강조하고 싶은 부분입니다.12:46

제가 이전에 말씀드렸듯이, 어떤 두 벡터의 내적을 계산하더라도 결과는 항상 동일합니다.12:51

그러니 이 특정 경우에 빨간 벡터가 힘 벡터였고 보라색 벡터가 되었다고 가정해 보겠습니다.12:56

실제로 이것은 우리의 의사 벡터입니다. 왼쪽의 공식을 사용하여 이 각도 세타를 구할 수 있습니다.13:02

이것은 매우 중요한 부분인데요, 실제 공학 시험의 비결은 지식 자체보다는 다른 데 있는 것 같습니다.13:08

여러분 모두 정말 대단하시네요. 아, 클레이튼 씨, 겸손하시는 것 같아요.13:14

아니요, 믿어보세요. 여러분들은 똑똑하시고, 교수님들께서도 그걸 알고 계실 겁니다.13:18

그분들은 어려운 내용보다는 문제를 얼마나 빨리 푸는지를 테스트하시는 것 같아요. 그렇죠?13:21

정말 빠르네요. 보통 학생들이 벡터 사이의 각을 보면, 위치 벡터를 변환해야 할 거라고 생각하죠.13:27

힘 벡터로 변환한 다음, 두 힘 벡터의 내적을 계산합니다.13:34

이제 그렇게 하실 수 있습니다. 올바른 답을 제공해 줄 것이지만, 위치 벡터를 힘으로 변환하는 그 추가적인 단계가 필요합니다.13:38

이 벡터는 다시 여러분의 시간을 많이 차지할 텐데, 공학 시험의 핵심은 문제를 푸는 것입니다.13:45

시험을 충분히 마치실 수 있도록 최대한 효율적으로 준비하시길 바랍니다.13:50

알버타입니다. 여기서는 약 1200명의 학생이 중간고사를 치르고 있는데, 제가 지금까지 완벽하게 완료된 것을 본 적은 거의 없습니다.13:55

중간고사 점수가 아마 전체 성적에서 30~40% 정도를 차지하는데, 학생들이 시험 시간에 부족해서 애를 먹는 경우가 많습니다. 가장 큰 문제점인 것 같아요.14:01

아시는 모든 종류의 속임수 같은 것들은 언제나 도움이 될 겁니다. 지금 여러분은 '알겠습니다, 클레이튼'이라고 말하실 수도 있겠네요.14:07

음, 저는 어떤 벡터든 상관없다는 것을 믿겠지만, 그걸 어떻게 증명해 주실 건가요?14:11

음, 간단합니다. 만약 우리가 공식을 재배열한다면, 코사인 세타가 이렇게 나오게 됩니다.14:16

두 벡터 사이의 각도는 f 닷 r을 f의 크기로 나눈 것과 같습니다.14:22

r의 크기를 확인하시고, 이제 두 벡터의 크기 모두로 나누는 것을 주목해 주십시오.14:28

기억하시겠지만, 크기로 나누면 본질적으로 단위 벡터를 얻게 되는 것이죠. 그렇죠?14:34

우리가 하고 있는 것은 기본적으로 이 두 벡터를 가져다가 단위 벡터로 크기를 조정하는 것입니다.14:39

그리고 두 단위 벡터 사이의 각도를 계산하는 것이기 때문에, 우리가 벗어나지 않기 때문에 유효합니다.14:44

힘 벡터와 위치 벡터를 실제로 내적하는 것은 기본적으로 단위를 가지지 않는 두 벡터의 내적을 수행하는 것과 같습니다.14:49

이제 벡터들을 함께 사용하여 각도를 구하겠습니다. 좋습니다. 왜냐하면 이 부분을 위로 확장할 수 있기 때문입니다.14:54

알겠습니다. f닷r은 f의 x성분과 x성분의 곱으로 표현됩니다.15:00

r 벡터의 y 성분과 f의 y 성분의 곱을 더하고, r 벡터의 y 성분과 곱하는 방식으로 계속하면, 이렇게 괜찮은 공식이 나오게 됩니다.15:05

시험 상황에서 두 벡터 사이의 각도를 구하라는 문제가 나올 경우를 말씀하시는 건가요?15:11

두 벡터의 구성 요소를 안다면 크기를 구할 수 있습니다. 이것이 전부입니다.15:16

분모에는 그것들이 있고, 분자는 모든 것이 갖춰져 있습니다. 따라서 여러분은 매우 빠르게 할 수 있습니다.15:21

오른쪽을 구할 수 있고, 이제 왼쪽이 무엇인지도 알게 되었으니 모든 것을 풀 수 있습니다.15:26

자, 이제 하나 더 중요한 팁을 알려드릴게요. 시간을 절약시켜 드릴 겁니다.15:32

만약 살펴본다면요.15:37

이 공식은 우리가 내적을 수행하려는 벡터의 크기에 따라 달라집니다, 즉, 두 벡터의 크기에 따라 달라집니다.15:38

찾고 있는 벡터들 사이의 각도를 구하려고 합니다. 이제 단위 벡터의 크기는 실제로 1과 같다는 것을 기억해 주세요.15:44

여기서는 그것이 매우 중요한 요소가 될 것입니다. 왜냐하면 살펴보면...15:50

분모인데, 두 단위 벡터를 곱하거나 두 단위 벡터 사이의 각도를 구하고 싶을 때, 15:53

단위 벡터를 곱하면 아래가 1 곱하기 1이 되어서 그냥 1이 됩니다.15:58

그러면 제가 두 단위를 가지고 있는 경우입니다.16:03

벡터 사이의 각도, 코사인 세타는 그 벡터들의 내적과 같다고 할 수 있습니다.16:05

크기로 나누지 않아도 되니 정말 좋네요. 그게 또 작은 부분 중 하나라고 할 수 있겠네요.16:10

시간을 좀 절약해 주시면 감사하겠습니다. 그러면 첫 번째 질문인 벡터 사이의 각도에 대한 답이 됩니다.16:14

두 번째 질문인 투영에 대해서는 어떻게 생각하시나요? 투영은 좀 어려운 용어입니다.16:19

어떤 방향으로 특정 요소가 포함되어 있는지 찾고 싶을 때 사용하는 표현이 있습니다.16:24

흔하지 않은 방향이 될 것 같습니다.16:29

이것이 정확히 무엇인지 보여드리는 가장 좋은 방법은 사진을 통해 설명드리는 것입니다.16:33

자, 예를 들어 제가 3차원 힘 벡터를 가지고 있다고 가정해 보겠습니다. 그런데 여러분은 뭐라고 말씀하시나요?16:38

네, x축 성분, y축 성분, j축 성분까지 가지고 있습니다.16:42

만약 시험에서 x축 성분을 묻는다면, 아마 여러분은 제게 웃으실 겁니다.16:45

여러분 클레이튼 씨, x축 성분은 당연히 x축 방향의 성분이라고 말씀하실 겁니다.16:51

x의 함수가 될 것 같습니다. 음, y 성분에 대해서는 어떻게 할까요?16:56

음, y축을 따라 진행되는 요소가 될 것이고, 이것은 C에서 두 번째 요소가 될 겁니다.17:00

그리고 J 구성 요소는 동일한 것일 예정입니다.17:06

음, f가 z가 될 것 같습니다. z축과 정렬된 구성 요소가 그쪽에 위치할 것 같습니다.17:09

이제 질문은 제가 x축이나 y축이 아닌 다른 축을 따라 구성 요소를 요청할 때 어떤 일이 발생하는가, 하는 것이 됩니다.17:14

혹시 질문 있으신가요? 자, 이것이 투영(projection)이 무엇인지 설명드리겠습니다. 투영은 특정 임의의 방향에 있는 힘의 성분을 찾으려고 할 때 사용됩니다.17:22

이제 방향을 정의해야 합니다. 보통은 방향을 정의하기 위해 단위 벡터를 제공해 드립니다.17:29

그리고 우리는 이 단위 벡터 방향으로 f의 성분을 찾고 싶다고 말합니다.17:35

그러니까 우리가 실제로 원하는 것은 이런 형태의 힘 벡터입니다.17:41

따라서, 그것은 그 단위 벡터에 평행한 f의 성분이라고 할 수 있습니다.17:45

그래서 저는 이걸 '평행'이라고 부르게 되었어요. 이 문제를 풀려면 실제로 직각삼각형을 만드는 것이 핵심 전략이에요.17:49

평행 성분을 안다면 수직 성분도 찾을 수 있을 것 같습니다.17:54

실제로 평행선과 수직선이 만나는 지점에서 직각 삼각형이 만들어지는데, 그 각도는 정확히 90도입니다.17:59

세 차원 공간에 있기 때문에 그렇게 보이지 않을 수도 있지만, 실제로는 90도입니다.18:06

자, 이제 삼각형을 만들었습니다. 빗변은 저희 힘 벡터의 크기가 되고, 나머지 두 변은...18:11

부품들은 F 평행하고 F 수직이 될 것입니다.18:18

네, 그렇습니다. 음, 한 각의 크기를 안다면 직각삼각형은 훌륭합니다.18:21

자, 예를 들어 저기 힘 벡터와 단위 벡터 사이의 각도를 제가 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 그 각도를 세타라고 할 때요.18:25

자, 그럼 이제 값을 구하는 것을 시작할 수 있겠네요. 그럼 이 점곱이 어떻게 생기는지 한 번 살펴봅시다.18:31

만약 제가 힘 벡터를 단위 벡터와 내적한다면, 그 결과는 벡터의 크기에 비례할 것임을 알고 있습니다.18:36

단위 벡터의 크기에 코사인 세타를 곱한 값에 힘 벡터를 곱한 것입니다.18:43

자, 오른쪽 중간 부분 정도를 살펴보면, 그 크기가 있습니다.18:48

단위 벡터는 말이죠. 단위 벡터의 크기는 정확히 1과 같습니다.18:54

그러니 공식을 수정해서 빼도 크게 상관없습니다. 자, 이제 이 부분부터 신기하고 멋진 일들이 시작될 거예요.18:58

이제 f·u가 f의 크기와 세타의 코사인 값으로 같다는 것을 알게 되었습니다.19:05

그리고 오른쪽 저기 삼각형을 보면, f의 크기는 빗변입니다.19:10

만약 삼각형의 빗변과 각도, 그리고 그 각도의 코사인 값을 알고 있다면, 실제로는 무엇을 구하는 것인지에 대해 알아내는 것입니다.19:15

저 인접한 구성 요소입니다. 이 경우에는 저쪽에 있는 F 병렬을 말씀드리는 것입니다.19:21

따라서 F닷U는 사실 평행 성분과 같다고 결론 내릴 수 있겠습니다.19:26

혹시 궁금한 점이 있으시면 언제든지 편하게 질문해주세요.19:32

부품을 원하는 방향으로 배치하고 싶으실 때, 필요한 건 여러분이 가지고 계신 것들을 활용하는 것뿐입니다.19:34

힘 벡터를 구한 다음, 그 방향을 정의하는 단위 벡터와 내적하십시오.19:40

네, 그렇게 간단하고 깔끔합니다. 굉장히 안 좋게 들리지만, 학생들이 혼동하기 시작하는 부분은 바로 그 부분이에요.19:44

임의의 방향을 생각해야 한다고 하셨는데, 제가 어떻게 해야 하는지 잘 모르겠습니다. 아주 간단하고 좋습니다. 그냥 정의를...19:50

힘 벡터와 단위 벡터 방향의 내적을 계산합니다.19:55

지금 여기서 가장 중요한 점은, 부디 잘 들어주세요.19:58

이 점을 기억해 주십시오. 이것이 해당 방향의 우리 힘 벡터의 구성 요소가 될 것입니다.20:02

그리고 여기서 '성분'이라고 하는 것은, 단일한 숫자라는 뜻이에요. 위에서 보이는 공식 좀 보세요.20:07

우리는 힘 벡터를 가져다가 단위 벡터와 내적하고 있습니다.20:12

내적은 항상 기억하시기 바랍니다.20:15

그러면 스칼라 값을 내놓게 되는데, 이 경우에는 특정 방향의 성분을 알려줄 것입니다.20:17

질문에서는 벡터 f가 평행하게 잘 나오기를 원하는데요, 그건 간단합니다. 벡터는 단순히 ~로 향하는 것을 의미한다고 기억하시면 됩니다.20:24

이 경우, 크기에 방향을 곱한 값이라고 할 수 있습니다. 여기서 크기는 f와 평행하게 유지하면서 풀어야 합니다.20:29

위에서 말씀드린 것처럼, 그 방향은 잘 알고 있습니다. 단위 벡터와 정렬되어 있잖아요.20:34

그래서 f 평행 성분을 벡터 형태로 비교적 쉽게 구할 수 있습니다. 때로는...20:39

교수님께서 정말 심하게 말씀하실 수도 있어요. 음, f 평행 성분은 괜찮다고 하시겠지만, 저는 f 수직 성분에 대해 정말 관심이 있답니다.20:46

지금까지 이야기한 모든 것은 f 평행 성분과 관련이 있었어요.20:52

음, 수직 성분은 어떻습니까? 음, 사실 이것도 정말 간단합니다. 명심하세요.20:56

힘 벡터 f는 실제로는 f 평행 성분과 f 수직 성분으로 구성되어 있습니다.21:02

제가 해야 할 모든 것이 그것뿐인가요.21:07

그 간단한 공식을 조금 재배열하면, f 수직 성분은 단순히 그렇게 된다고 말씀드릴 수 있습니다.21:08

저 힘 벡터에서 그 평행 성분 빼면 되는데, 이제 그렇게 간단합니다. 이렇게요.21:14

두 벡터를 빼면 벡터가 나오게 됩니다. 만약 그렇게 하고 싶다면 이 벡터는 수직 벡터가 될 것입니다.21:21

수직 성분, 음, 벡터를 가지고 있는데, 그 벡터는 세 개의 성분으로 이루어져 있으므로, 우리는 그것들을 사용할 수 있습니다.21:28

저희의 크기 공식으로 그 성분을 실제로 찾아낼 수 있습니다. 꽤 간단하게 보여드리겠습니다. 여러분께서 보시는 것처럼요.21:33

저 질문은 첫 번째 시험 문제에서 볼 때, 분명히 가장 어려운 편이라고 생각합니다. 그 이유는 꽤 많은 내용을 다룰 수 있기 때문입니다.21:39

결과적으로는 정말 간단한 것을 파악하는 작업입니다. 네, 이것으로 이 비디오는 마치겠습니다.21:44

이것에 대해 잘 설명해 드렸기를 바랍니다. 이 부분은 좀 더 진지하게 말씀드리기 위해 노력했습니다.21:49

제 경험에 비추어 볼 때, 보통 수업에서 이 부분이 학생들이 처음으로 접하게 되는 단계인 경우가 많습니다.21:54

실수들이 발생하기 시작합니다. 혹시 아직도 상파울루에서 보고 계시다면 걱정하지 마세요.22:00

클레이튼 씨, 무슨 말씀을 하시는지 잘 모르겠습니다. 아래에 두 가지 예시를 보여드리겠습니다.22:04

벡터 사이의 각도를 구하는 것과 관련된 것 하나와, 당연히 투영과 관련된 것 또 하나 준비되어 있습니다.22:09

혹시 아직 헷갈리시는 분들이 계시다면, 제가 이해 못 할 거라고 뭐라 하실 필요는 없어요. 이론을 분석하는 데 저는 도가니 없으니까요.22:14

이해를 돕기 위해, 예시를 참고해 주시면 감사하겠습니다. 저는 예시를 통해 이해하는 것이 가장 효과적이라고 생각합니다.22:19

이 과정을 통해 실제로 무슨 일이 일어나는지 배우는 데 도움을 드리고자 합니다. 네, 이것으로 이 비디오는 마치겠습니다. 여러분 정말 감사합니다.22:25

오늘도 좋은 하루 보내시길 바라며, 힘내세요.22:31

두 번째 주는 꽤 힘들 수 있지만, 다음 주부터 시작할 세 번째 주는 좀 더 나아질 거예요.22:34

비디오는 점점 더 쉬워지니까, 다시 한번 들어주셔서 정말 감사합니다. 잘 들으셨기를 바랍니다.22:38

정말 멋진 하루였어요. 다음 영상에서 또 만나요.22:43