수학은 우리 세계를 측정하고 양적으로 표현하려는 방법에서 시작되었습니다. 땅을 측량하고, 천체의 운동을 예측하는 데 사용되었죠.00:00

행성들을 관리하고, 무역 활동을 추적했습니다. 그러다 해결 불가능하다고 여겨졌던 문제가 발생했습니다.00:06

문제를 해결하는 비결은...00:11

수학을 현실 세계와 분리하고, 대수학을 기하학과 분리하며, 새로운 것을 창조하기 위한 것이었습니다.00:12

정말이지 상상 속에서나 나올 법한, 허수라고 불리는 숫자들입니다. 아이러니하게도 400년이 지나서야, 바로 그 숫자들조차도 활용되고 있습니다.00:19

우주에 대한 저희가 가진 가장 훌륭한 물리 이론의 핵심부에 나타나게 됩니다.00:26

수학이 현실과의 연관성을 버림으로써야 비로소 현실의 진정한 본질을 깨달을 수 있습니다.00:30

1494년, 레오나르도 다 빈치의 수학 선생님이신 루카 파치올리가 수마를 출판했습니다.00:38

르네상스 시대 이탈리아에서 알려졌던 모든 수학 지식을 포괄적으로 요약한 '아리스메티카'는 매우 중요한 자료입니다.00:45

시간에 관한 부분인데, 그 안에는 오늘날 우리가 적는 삼차 방정식에 대한 내용이 있습니다.00:50

ax 세제곱 더하기 bx 제곱 더하기 cx 더하기 d 는 0과 같습니다. 사람들은 일반적인 해를 찾으려고 노력해 왔습니다.00:55

방정식의 해를 최소 4,000년 동안 찾아왔지만, 이를 접한 고대 문명은 각각 다른 방식으로 문제를 해결해 왔습니다.01:02

바빌로니아인, 그리스인, 중국인, 인도인, 이집트인, 그리고 페르시아인들 모두, 결국 아무런 성과도 얻지 못했습니다.01:08

파치올리의 결론은 삼차 방정식의 해를 구하는 것은 불가능하다는 것입니다.01:15

이것은 x-큐브 항이 없다면 방정식이 단순히 2차 방정식이 되기 때문에, 어느 정도 놀라운 일일 수 있습니다.01:20

그리고 많은 고대 문명들이 수천 년 전에 이미 이차방정식을 풀어낸 적이 있었습니다.01:27

오늘날, 중학교 과정을 이수한 사람은 누구나 대략적인 해법을 알고 있습니다.01:33

음, b에 마이너스 b 제곱 빼기 4ac를 모두 2a로 나눈 값입니다.01:36

대부분의 사람들은 이 공식에 그냥 무턱대고 묻혀버리는 것 같습니다.01:41

고대 수학자들이 그것을 유도하기 위해 사용했던 기하학에 대해서는 전혀 알지 못합니다.01:45

아시다시피, 예전에는 수학이 지금처럼 방정식으로 쓰이지 않았습니다.01:50

단어와 그림으로 쓰여졌습니다.01:54

예를 들어, x 제곱 더하기 26x는 27과 같습니다.01:58

고대 수학자들은 x 제곱 항을 변의 길이가 x인 실제 정사각형과 같이 생각했을 것입니다.02:03

그리고 26x는 음, 한 변의 길이가 26이고 다른 변은...02:11

길이 x의 텍스트입니다.02:18

그리고 이 두 영역을 합치면 27이 되는데, x가 얼마인지 어떻게 알아낼까요?02:19

음, 이걸 26배로 만들 수 있을 것 같습니다.02:26

이제 사각형을 잘라서 반으로 나누었으니, 13x 사각형 두 개가 남게 되었습니다.02:29

새로운 위치에 배치할 수 있습니다.02:37

제가 만들고 있는 형태는 거의 정사각형에 가깝습니다만, 이 부분 아래쪽이 조금 빠져 있습니다. 하지만 제가 알고 있습니다.02:39

이 부분의 크기는 가로 세로 모두 13cm로, 제곱근을 구하기 위해 더해 넣을 수 있습니다.02:45

13 곱하기 13입니다.02:52

방금 제곱을 더했기 때문에 좌변에 13의 제곱, 즉 169를 더했습니다.02:54

가지고 있습니다.03:02

방정식의 오른쪽 변에 169를 더하여 등식을 유지하겠습니다. 이제 이렇게 더 큰...03:02

한 변의 길이가 x 더하기 13인 정사각형의 넓이는 196과 같습니다.03:09

196의 제곱근은 14입니다.03:15

알겠습니다. 이 정사각형의 변의 길이는 14이므로, x는 1과 같습니다.03:19

지금요.03:26

이차방정식을 시각적으로 풀어서 보여주는 방식은 훌륭하지만, 완전하지는 않습니다.03:27

그러니까, 혹시 말씀하시는 내용이...03:34

저희의 원래 방정식에서 x는 1이 해가 되는 것은 물론이고, 음 27 또한 해가 됩니다.03:35

수천 년 동안 수학자들은 음의 해법을 인식하지 못했습니다.03:43

실제 세계의 사물들을 다루고 있었기 때문에, 그들의 방정식은 그렇게 되었습니다.03:48

길이와 넓이, 그리고 부피를 말씀드리는 건데요, 제가 생각하는 것은 정사각형이 무엇을 의미하는지 묻는 질문이 아닐까 합니다.03:52

길이가 음수 27이라는 것은 전혀 말이 되지 않기 때문에, 그러한 경우에 대해서는...03:56

수학자들은 음수가 존재하지 않았어요. 뺄셈은 할 수 있었지만, 그건 차이를 찾는 것이었죠.04:03

두 개의 양수 사이에서, 하지만 음수 답이나 음수 계수를 가질 수는 없었습니다.04:08

수학자들은 음수의 개념을 매우 꺼려했기에, 단일 이차방정식이 존재하지 않았습니다.04:14

방정식 대신, 여섯 가지 버전이 계수가 배열되도록 준비되었습니다.04:18

긍정적인 태도를 유지해 왔습니다. 세제곱 함수에 대해서도 같은 방식으로 접근했습니다.04:23

11세기에요.04:28

페르시아의 수학자 오마르 하이얌은 19개의 서로 다른 삼차 방정식을 밝혔으며, 모든 것을 유지했습니다.04:29

계수들이 모두 양수임을 확인했습니다. 그는 몇몇 방정식에 대해 교차점을 고려하여 수치해를 찾았습니다.04:36

쌍곡선이나 원과 같은 도형에 대한 연구를 진행하셨지만, 궁극적인 목표인 일반적인 해결책을 찾는 데에는 미치지 못하셨습니다.04:41

방정식에 대해 말씀하셨는데요. 아마 우리 뒤에 오는 사람 중 누군가가 그것을 찾는데 성공할 것입니다.04:47

400년이 지나고 4,000킬로미터 떨어진 곳에서, 해결책이 모습을 드러나기 시작합니다.04:53

시피오네 델 페로는 볼로냐 대학교의 수학 교수입니다.05:00

1510년경, 그는 우울 방정식(depressed cubic)을 확실하게 풀 수 있는 방법을 발견합니다.05:05

이것은 x 제곱항을 포함하지 않는 삼차방정식의 일부입니다.05:11

그렇다면, 수천 년 동안 수학자들을 곤란하게 했던 문제를 해결한 후에는 무엇을 하시나요?05:16

레오나르도 다 빈치의 수학 선생님께서 불가능하다고 생각했던 일이요?05:20

아무에게도 말하지 않습니다. 보시다시피 1500년대에 수학을 하는 것은 꽤 어려운 일입니다.05:25

귀하의 직책은 언제든 다른 수학자들이 나타나 도전할 수 있기 때문에 끊임없이 위협받고 있습니다.05:31

마치 수학 경연 대회와 비슷하다고 생각하실 수 있습니다. 각 참가자들은 서로에게 문제 세트를 제출합니다.05:38

가장 많은 문제를 정확하게 푸신 분이 채용이 되시고, 그렇지 못하신 분은 공개적인 망신을 당하게 됩니다.05:44

델핀 델페로가 알고 있는 한, 이 우울한 삼차 방정식을 풀 수 있는 사람은 세상에 아무도 없을 겁니다.05:51

그의 해결책을 비밀로 유지함으로써, 그는 자신의 직업 안정성을 보장하게 됩니다.05:57

거의 20년 가까이 동안, 델페로는 비밀을 지켜왔습니다.06:02

1526년이 되어 죽기 직전에서야 비로소 그는 제자 안토니오 피오르에게 그 사실을 털어놓습니다.06:06

피오르는 그의 스승만큼 수학에 뛰어난 재능은 없지만, 젊고 야심가적입니다.06:13

델페로가 사망한 이후로, 그는 자신의 수학적 능력에 대해 스스로 자랑하는 모습을 보입니다.06:18

특히, 그가 우울한 삼차 방정식을 푸는 능력은 매우 뛰어났습니다.06:22

1535년 2월 12일, 피오로는 수학자 니콜로 폰타나 타르탈리아에게 도전을 제기합니다.06:26

최근 피오르의 고향인 베네치아로 이주하신 니콜로 폰타나는 역경에 익숙하지 않으신 분이 아닙니다.06:32

어렸을 때 프랑스 병사에게 얼굴을 찢기는 상처를 입으셔서, 그 후 발음이 잇달아 꼬이는 문제가 생기셨습니다.06:39

그래서 그를 타르타글리아라고 부르게 되었는데, 이는 이탈리아어로 '발음이 더듬는 사람'이라는 뜻입니다.06:44

가난한 환경에서 자라난 타르타리아는 주로 자력으로 지식을 쌓았습니다.06:49

그는 이탈리아 사회를 뚫고 올라가 존경받는 수학자가 됩니다.06:52

지금 이 모든 것이 위태로워지고 있습니다. 관례대로, 도전 과제에서 타르타글리아는 다양한 30가지 문제를 제시합니다.06:58

피오르. 피오르는 타르타글리아에게 30개의 삼중 우울 다항식을 줍니다.07:06

각 수학자는 주어진 30개의 문제를 해결하기 위해 40일의 기한을 갖습니다.07:13

피오르는 어떤 문제도 해결할 수 없네요.07:17

타르타글리아는 피오르의 우울한 3차 방정식을 모두 30개나 2시간 만에 해결했습니다.07:21

피오르의 과장이 오히려 화를 부른 것 같습니다.07:26

도전이 시작되기 전, 타르타글리아는 피오르가 우울방정식을 풀었다는 주장을 전해 듣게 되지만, 그는 회의적인 태도를 보입니다.07:30

타르타글리아에 따르면, 그는 스스로 그러한 규칙을 발견할 수 없을 것이라고 판단했습니다.07:37

소문으로는 뛰어난 수학자가 피오르에게 그 비법을 밝혔다는 이야기가 있는데, 듣고 보니 좀 더 가능성이 있어 보여요.07:41

그래서 삼차 방정식에 대한 해법이 가능하다는 사실과, 그리고 그의 생계가 걸려 있다는 점을 알게 되었습니다.07:46

타르타글리아가 스스로 우울한 삼차 방정식을 풀기 시작합니다.07:52

그것을 수행하기 위해, 그는 완전제곱식을 3차원으로 확장하는 아이디어를 활용합니다.07:56

방정식 x 세제곱 더하기 9x는 26과 같습니다.08:02

x 세제곱은 한 변의 길이가 x인 정육면체의 부피라고 생각할 수 있습니다.08:06

9x를 더하면 26이 됩니다.08:12

완전제곱법을 할 때처럼, 입방체의 부피를 9x만큼 늘리기 위해서는 입방체에 더해야 합니다.08:15

이 정육면체의 세 변을 y 거리만큼 밖으로 늘린다고 상상해 보세요.08:23

측면의 길이가 z라고 부르겠습니다, 새로운 더 큰 큐브를 만드는 것입니다.08:27

Z는 x에 y를 더한 값입니다.08:32

원래 있던 큐브에 패딩이 추가되었고, 추가된 부피는 일곱 개의 형태로 나눌 수 있습니다.08:34

x, x, y 치수의 직육면체 세 개가 있습니다.08:41

그리고 폭이 x이고 높이가 y인 세 개의 더 좁은 프리즘들이 있습니다.08:46

게다가 부피가 y 세제곱인 정육면체도 있습니다. 테르타글리아는 여섯 개의 직육면체들을 하나의 덩어리로 재배열합니다.08:51

한쪽은 3y의 길이를 가지고, 다른 쪽은 x에 y를 더한 값, 즉 z의 길이를 가지고, 높이는 x입니다.09:00

그래서 볼륨을요.09:07

이 도형의 밑넓이는 3yz배의 높이 x이며, 타르타글리아는 이 부피가 완벽하게 들어맞는다는 것을 깨닫습니다.09:08

방정식에서 9x 항을 나타내려면 밑이 9와 같도록 설정하므로, 3yz를 설정합니다.09:15

9번입니다.09:23

큐브를 다시 맞춰보니, y 세제곱 블록 하나가 빠져 있는 것을 알 수 있습니다.09:25

따라서, y 세제곱을 방정식 양변에 더하면 입방체를 완성할 수 있습니다.09:29

이제 z의 세제곱, 완전한 큰 정육면체를 갖게 되었으며, 이것은 26 더하기 y의 세제곱과 같습니다.09:35

두 개의 방정식과 두 개의 미지수가 있습니다. 첫 번째 방정식을 z에 대해 풀고, 두 번째 방정식에 대입하겠습니다.09:40

y의 여섯 제곱에 26y 세제곱을 더하면 27이 됩니다.09:47

처음 보면, 시작했을 때보다 상황이 더 악화된 것 같아 보일 수 있습니다.09:52

변수가 이제 3승 대신 6승으로 올라갔습니다.09:56

다만, y 세제곱을 새로운 변수로 생각한다면, 그 방정식은 사실 이차방정식이 됩니다.09:59

우리가 제곱근을 이용하여 풀었던 동일한 이차방정식입니다.10:06

따라서 y 세제곱이 1이라는 것을 알 수 있는데, 이는 y가 1이라는 의미입니다.10:09

그리고 z는 y에 3분의 1이므로, z는 3입니다.10:14

그리고 x 더하기 y가 z와 같으므로, x는 2와 같아야 합니다.10:18

실제로, 그것은 원래 방정식의 해가 됩니다.10:22

그렇게 해서 타르타글리아는 행성상 두 번째 인간이 되어 우울한 삼차 방정식을 풀게 되었습니다.10:26

새로운 세제곱 함수를 만날 때마다 기하학적 과정을 다시 거쳐야 하는 번거로움을 피하기 위해, 10:32

타르타글리아는 자신의 방법을 일련의 지침, 즉 알고리즘으로 요약합니다.10:37

우리가 오늘날처럼 방정식의 집합으로 적는 것이 아니라, 그가 이것을 기록하고 있습니다.10:41

현대 대수 표기법이 존재하기까지는 백 년이나 더 지나야 했지만, 대신 시 형태로 남게 되었습니다.10:45

타르타글리아의 승리는 그를 꽤 유명하게 만들었습니다. 수학자들은 그가 삼차 방정식을 어떻게 풀었는지 배우기 위해 애쓰고 있습니다.10:52

특히 밀라를 기반으로 활동했던 만능의 학자 제롤라모 카르다노를 예로 들 수 있습니다.10:59

예상하신 대로, 타르타글리아는 그걸 받아들이지 않으셨습니다. 그는 대회에서 단 하나의 문제조차 밝히기를 거부하셨습니다.11:03

하지만 카르다노는 끈기를 가지고 있습니다.11:10

그는 칭찬과 공격적인 비난이 번갈아 나타나는 일련의 편지를 씁니다.11:12

결국, 그의 부유한 후원자에게 소개받을 수 있다는 약속을 통해 카르다노는 타르탈리아를 밀란으로 데려오게 됩니다.11:18

그리고, 1539년 3월 25일, 타르탈리아는 그의 방법을 공개합니다.11:25

하지만 카르다노가 그 방법을 누구에게도 발설하지 않도록 엄숙하게 맹세하도록 강요한 후에나 가능했습니다.11:30

공개하지 않고, 오직 암호로만 기록해 주시면 됩니다.11:36

제 죽음 이후에는 아무도 그것을 이해할 수 없도록, 그렇게 말입니다.11:39

카르다노는 매우 기뻐하며 즉시 타르탈리아의 알고리즘을 가지고 실험을 시작합니다.11:44

하지만 그분은 좀 더 숭고한 목표를 염두에 두고 계십니다. 즉, x 제곱 항을 포함한 완전한 삼차 방정식에 대한 해법을 찾는 것이 그 목표입니다.11:50

놀랍게도, 그분은11:56

만약 x 대신 x 마이너스 b 나누기 3a 를 대입한다면, 그것을 발견할 수 있습니다.11:58

그러면 모든 x 제곱 항들이 서로 상쇄됩니다.12:04

일반적인 삼차 방정식을 우울삼차 방정식으로 변환하여, 이후에 풀 수 있는 방법을 설명합니다.12:07

타르탈리아의 공식에 의해 해결되었습니다. 카르다노는 최고의 수학자들을 좌절시킨 문제를 풀었다는 사실에 매우 기쁩니다.12:13

수천 년 동안 수학자들을 위해 연구해 왔고, 이제 그 결과를 발표하고 싶어 합니다.12:18

그의 동료들과 달리, 카르다노는 해결책을 비밀로 유지할 필요가 없습니다.12:22

그는 수학자로서가 아니라 의사로서 생계를 유지하고 있습니다.12:26

저명한 지식인이셨습니다. 그분께서는 명예가 비밀보다 더 귀중하다고 생각하셨습니다.12:30

문제는 그가 타르타글리아에게 맹세한 서약인데, 타르타글리아는 그가 깨뜨리는 것을 허락하지 않을 것이라는 점입니다.12:35

그러실 수도 있을 겁니다.12:41

결말입니다. 하지만 1542년, 카르다노는 볼로냐로 여행을 가고, 그곳에서 수학자를 방문합니다.12:43

마침내 스키피오네 델 페로의 사위라는 분이 계셨는데, 그분은 돌아가시는 순간까지도...12:49

안토니오 피오레에게 우울방정식의 해법을 제시했습니다. 카르다노는 이 해법을 찾아냅니다.12:56

방문 중에 함께 공유되는 델 페로의 오래된 노트를 의미합니다. 이 방법은 타르탈리아의 방법보다 먼저 개발되었습니다.13:01

수십 년 동안 비밀로 해왔습니다. 따라서 카르다노의 관점에서 볼 때, 이제는 세제곱방정식의 완전한 해법을 공개해도 괜찮다고 생각합니다.13:07

타르타글리아에게 한 맹세를 어겼습니다. 그로부터 3년 뒤, 카르다노는 『아르스 마그나』, 즉 『위대한 예술』을 출판합니다.13:13

5년에 걸쳐 집필된 수학 총정리 개정판이 오래도록, 500년까지 지속되기를 바랍니다.13:19

카르다노는 세제곱 방정식을 13가지 형태로 배열하는 각각에 대해 독특한 기하학적 증명을 담아 한 장의 장을 씁니다.13:26

타르텔리아, 델페로, 그리고 피오레의 공헌을 인정하시는 동시에,13:32

타르타글리아는 매우 불쾌해하시는 것 같습니다.13:37

카르다노에게 모욕적인 편지를 쓰고, 수학계의 상당 부분을 참조(cc)로 보내고 있습니다.13:39

그분 말씀하시는 게 일리가 있습니다. 오늘날까지도 삼차 방정식의 일반적인 해법은 종종 카르다노의 방법이라고 불립니다.13:45

하지만 아르스 마그나는 놀라운 업적이라고 할 수 있습니다.13:52

기하학적 추론을 한계점까지 밀어붙이는 거죠, 정말로요.13:55

카르다노가 '아르스 마그나'를 집필하는 동안, 기존 방식으로는 쉽게 풀리지 않는 특정한 삼차방정식을 접하게 됩니다.14:01

x 세제곱이 15x 더하기 4와 같다고 합니다.14:08

이것을 알고리즘에 적용하면 음수의 제곱근을 포함하는 해를 얻게 됩니다.14:11

카르다노가 타르탈리아에게 사건에 대해 묻지만, 그는 답변을 피합니다.14:17

카르다노가 그의 공식을 제대로 활용할 만큼 충분히 영리하지 않다는 뉘앙스를 풍기고 있습니다.14:21

현실은 타르타글리아도 사실 뭘 해야 할지 모르는 것 같습니다.14:25

카르다노는 유사한 내용의 기하학적 유도 과정을 되짚어봅니다.14:29

정확히 무엇이 잘못되는지 확인하기 어렵습니다. 3D 큐브 슬라이싱 및 재배열은 잘 작동하지만요.14:33

최종적으로 제곱을 완성하는 이차방정식 단계는 기하학적인 역설로 이어집니다. 카르다노는 일부를 발견합니다.14:41

정사각형이 넓이는 30이어야 하고, 동시에 한 변의 길이는 5여야 합니다.14:48

완전한 정사각형이 가지를 가지고 있습니다.14:53

완전제곱근을 하기 위해 카르다노는 면적에 음수 면적을 어떠한 방식으로든 더해야 합니다.14:55

정사각형이 있는 곳입니다.15:03

음수의 근원은 음의 영역이라는 개념에서 비롯된 것입니다. 이것이 처음 있는 일은 아니며, 제곱근에 대해서도 마찬가지입니다.15:04

수학에서 부정적인 개념은 사실 아르스 마그나에서 더 일찍 나타납니다. 이 문제는 두 숫자를 찾아야 하는 문제입니다.15:10

10에 더하고 40을 곱해주세요. 이 식들을 이차방정식 x 제곱 더하기 40으로 결합할 수 있습니다.15:17

결과가 10x와 같습니다. 하지만 이 값을 이차방정식 공식에 대입하면 해에 복잡한 내용이 포함됩니다.15:24

음수의 제곱근을 구하는 것은 직관적으로 생각해보면 해가 존재하지 않는다는 결론에 도달하게 됩니다.15:30

원래 문제와 비교해 보면, 더해서 10이 되는 두 실수는 존재하지 않습니다.15:36

40을 곱하게 되었습니다. 그래서 수학자들은 음수의 제곱근이 수학의15:41

이것은 상황을 설명하는 방법 중 하나인데, 해결책이 없다는 뜻입니다. 하지만 이 삼차 방정식은 다릅니다.15:48

조금의 추측과 검산을 통해 x가 4일 때 해가 된다는 것을 알 수 있습니다.15:54

그렇다면 다른 삼차함수에서는 잘 작동하는 방법이 왜 이 경우에는 합리적인 해결책을 찾지 못하는 걸까요?15:59

앞으로 나아갈 방법을 찾지 못하고, 카르다노는 '아르스 마그나'에서 이 경우를 피하며, 그러한 아이디어가 어떤 의미를 가지는가에 대해 언급합니다.16:06

음수의 제곱근은 쓸모없음과 동시에 매우 미묘한 개념입니다.16:12

하지만 약 10년 후, 이탈리아 엔지니어 라파엘 봄벨리가 카르다노가 중단했던 곳부터 이어받습니다.16:17

음수의 제곱근과 그로 인한 불가능한 기하학적 구조에도 굴하지 않고, 그는 이 복잡한 상황을 헤쳐나가서 해결책을 찾고 싶어합니다.16:23

음수의 제곱근은 양수 또는 음수로 정의할 수 없다는 점을 고려하여,16:30

그는 그것을 완전히 새로운 종류의 숫자로 인정하게 둡니다.16:35

봄벨리는 카르다노의 해법에 제시된 두 항을 일종의 조합으로 표현할 수 있다고 가정합니다.16:39

일반적인 숫자와 음의 일에 제곱근을 취하는 새로운 유형의 숫자, 이렇게 두 가지가 있습니다.16:43

이렇게 하면 보멜리가 카르다노 방정식의 두 세제곱근이 서로 같다다는 것을 알아내게 됩니다.16:49

음수 1의 제곱근을 2 더 또는 뺄 때를 의미합니다. 따라서 마지막 단계를 진행하여 더할 때요.16:54

이 제곱근들이 서로 상쇄되어서 정확한 답인 4가 남게 됩니다.16:59

이것은 정말 놀라운 일이라고 느껴집니다.17:03

기적과 같은 방법입니다. 카르다노의 방법은 실제로 작동하지만, 기하학적 증명을 포기해야 합니다.17:06

처음부터 그것을 만들어낸 것입니다. 현실에서는 말이 안 되는 부정적인 영역들은 반드시 존재해야 합니다.17:11

해결책을 향해 나아가는 중간 단계입니다. 앞으로 백 년 동안 현대 수학은 발전해 나아갈 것입니다.17:18

17세기에는 프랑수아 비에트가 현대 대수학 기호 표기법을 도입하여, 기존의 복잡성을 종식시켰습니다.17:24

수천 년에 걸쳐 수학 문제를 그림과 자세한 설명을 통해 풀어왔던 전통입니다.17:31

기하학은 더 이상 진실의 근원(根源)이 아닙니다.17:35

르네 데카르트는 음수의 제곱근을 광범위하게 사용했으며, 그 결과 이러한 개념을 널리 알리는 데 기여했습니다.17:39

그는 그것들의 유용성을 인정하는 동시에, 그것들을 허수라고 부르는데, 그 명칭이 널리 사용되게 됩니다.17:44

그래서 오일러는 나중에 음수의 제곱근을 나타내기 위해 I라는 글자를 사용하게 됩니다.17:50

정수와 결합하면 복소수가 됩니다.17:55

입방체는 이러한 새로운 수의 발명으로 이어졌으며, 이를 통해 대수학은 기하학으로부터 자유로워졌습니다.17:59

현실에 대한 가장 적절한 묘사처럼 보이는 것들을 놓아버림으로써, 여러분이 볼 수 있는 기하학을요.18:06

만지고 이해하다 보면 훨씬 더 강력하고 완전한 수학을 풀 수 있게 됩니다.18:11

실제적인 문제들이 있습니다. 그리고, 예상외로 입방현상(또는 입방체)은 시작에 불과한 것 같습니다.18:15

1925년, 에르빈 슈뢰딩거는 양자역학적 행동을 지배하는 파동 방정식을 찾고 있었습니다.18:21

입자는 드 브로이의 통찰력을 바탕으로 하여, 물질이 파동으로 이루어져 있다는 점을 확장합니다.18:27

그는 물리학 전체에서 가장 중요하고 유명한 방정식 중 하나인 슈뢰딩거 방정식을 제시했습니다.18:31

그리고 그 안에서, 음수의 제곱근인 저, 즉 i가 두드러지게 나타납니다.18:38

수학자들은 허수 개념에 익숙해진 반면, 물리학자들은 익숙하지 않으며 그것을 접할 때 불편함을 느낍니다.18:42

그것이 그렇게 근본적인 이론에서 나타나다니, 놀랍습니다. 슈뢰딩거 자신도 무엇이 불쾌한지 적고 있습니다.18:49

복잡한 수의 사용은 직접적으로 반박될 수 있다는 점이 문제입니다.18:55

파동 함수 psi는 분명히 근본적으로는 실수 함수일 것입니다.18:59

제기되신 의견이 타당하다고 생각합니다. 그렇다면 왜 허수(虛數)가 등장하는 걸까요?19:04

그것이 세제곱 함수의 해가 근본적인 물리학 문제에서 처음 등장하게 된 이유는 무엇입니까?19:09

음, 상상의 수들이 가지고 있는 몇 가지 독특한 특성 때문입니다.19:13

허수(imaginary numbers)는 실수(real numbers) 직선과 수직인 차원에 존재합니다.19:18

함께 복소 평면을 형성합니다. 무슨 일이 일어나는지 보세요.19:23

하나를 시작으로 i를 반복적으로 곱하면, 한 번 곱하면 i이고, 두 번 곱하면 i가 됩니다.19:28

곱하기가 음수 일 경우 -1 입니다.19:35

정의에 따르면, 음수 하나 곱하기 i는 음수 i이고, 음수 i 곱하기 i는 1입니다. 우리는19:37

시작점으로 돌아왔고, i를 계속 곱하면 점은 계속 회전하게 됩니다. 그러므로, 우리는19:44

i를 곱하는 것은, 실제로는 복소평면에서 90도만큼 회전시키는 것과 같습니다.19:50

이제 x축을 따라 내려갈수록 i를 반복적으로 곱하는 함수가 존재합니다.19:57

그리고 그것은 e의 ix승입니다.20:02

기본적으로 이 회전들을 x축을 따라 모두 펼쳐서 나선을 형성합니다.20:05

나선을 실제로 살펴보면, 그것은 코사인파와 같습니다.20:11

만약 상상 부분까지 살펴보신다면, 사인파의 형태를 띠고 있습니다.20:15

파동을 설명하는 두 가지 핵심 기능은 모두 e의 ix승 안에 담겨 있습니다.20:18

슈뢰딩거가 쓰기 시작할 때요.20:25

그는 파동 방정식을 다룰 때, 그 방정식의 해가 어떤 모습일 것이라고 자연스럽게 가정합니다.20:28

e의 i kx 마이너스 오메가 t처럼 보일 것이라고 가정합니다.20:32

혹시 그가 왜 그러한 방법을 사용했는지 궁금해하실 수 있을 겁니다.20:36

그 공식이 단순한 사인파가 아니라 지수 함수를 사용하는 것이 몇 가지 유용한 특성이 있기 때문입니다.20:39

위치 또는 시간에 대해 미분을 구하면, 그 미분값은 어떤 값에 비례합니다.20:45

원래 함수 자체에 영향을 미치게 되는데, 이는 사인 함수를 사용한 경우에는 사실이 아닙니다. 사인 함수의 도함수는 그렇지 않기 때문입니다.20:50

코사인입니다. 게다가 슈뢰딩거 방정식이 선형이므로, 임의의 개수를 더할 수 있습니다.20:56

이러한 형태의 해들을 만들면, 어떤 종류의 파동 모양이든 그것 또한 해가 될 것입니다.21:02

슈뢰딩거 방정식으로 이어집니다. 물리학자 프레드먼 다이슨은 나중에 슈뢰딩거가 제곱근을 사용했다고 썼습니다.21:09

음수 일이라는 값을 방정식에 대입했더니, 갑자기 이해가 되었습니다.21:15

갑자기 열전도 방정식이 아닌 파동 방정식으로 바뀌게 되었습니다.21:18

그리고 슈뢰딩거는 그 방정식이 놀라울 정도로 만족스러운 결과를 보여주게 되어 매우 기뻐했습니다.21:23

이는 보어 원자 모형의 양자화된 궤도에 상응하는 해를 가지고 있습니다.21:26

알고 보니 슈뢰딩거 방정식은 우리가 아는 현상들의 행동 양상을 정확하게 설명하는 것으로 밝혀졌습니다.21:31

원자의 기본입니다. 이는 화학 전반과 대부분의 물리학의 토대가 됩니다.21:37

그리고 음수의 일 제곱근이 있습니다.21:42

그것은 자연이 실수 대신 복소수를 사용한다는 의미입니다.21:44

슈뢰딩거 역시 다른 모든 사람들과 마찬가지로 이 발견은 완전히 예상치 못한 일이었습니다.21:50

가상 수라는 개념은, 방정식을 푸는 과정에서 다소 독특한 중간 단계로 발견되었습니다.21:57

입방체라는 개념이 우리 현실 묘사에 있어서 근본적인 역할을 수행하는 것으로 판명되었습니다.22:03

수학이 현실과의 연관성을 포기해야만 더 깊은 진실로 우리를 인도할 수 있습니다.22:07

우주가 어떻게 작동하는지에 대한 방식에 대해입니다.22:12

솔직히 말씀드리면, 이 영상을 만들면서 정말 많은 것을 배우게 되었습니다. 몇 가지 아이디어에 깊이 몰입해야 했기 때문입니다.22:21

저도 이미 익숙했던 내용이었습니다. 그리고 바로 그와 같은 일이 이번 영상의 협찬사 Brilliant을 통해 일어납니다.22:27

브릴리언트는 기하학부터 양자역학에 이르기까지 다양한 STEM 개념을 가르쳐주는 웹사이트 및 앱입니다.22:33

실제로 해 보면서 배우시는 것이죠. 그들은 인터랙션을 활용하여 이해도를 한 단계 더 끌어올립니다.22:39

미적분처럼 어렵지 않습니다. 스스로 자료를 풀어보고 조작해보면서 할 때 훨씬 더 재미있습니다.22:44

시각적으로 확인해 보세요. 회전체의 표면들을 살펴보면, 어떻게 활용할 수 있는지 명확하게 보여줍니다.22:50

부피를 구하는 데 필수적입니다. 문제들은 난이도가 점진적으로 올라오도록 신중하게 선별되었으며, 막히신다면...22:56

항상 도움이 되는 힌트가 있습니다. 이 비디오가 복소수에 대한 흥미를 불러일으키셨다면, 정말 훌륭한 강의가 준비되어 있습니다.23:03

그 주제에 대해서, 만델브로트 집합부터 오일러 공식에 이르기까지요.23:09

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brilliant.org slash Veritasium으로 바로 가시면 돼요. 그 링크는 설명란에 넣어드릴게요.23:19

브릴리언트를 지원해줘서 정말 감사하고, 시청해 주셔서 감사합니다.23:24