컴퓨터는 데이터를 이진수로 표현하기 때문에, 컴퓨터가 다루고 싶어하는 모든 숫자는 0과 1의 나열로 저장되어야 합니다.00:00

음이 아닌 정수 값의 경우, 해석은 우리가 십진수로 숫자를 표현하는 방식과 매우 유사합니다.00:10

각 비트, 즉 각 0이나 1은 2의 다른 거듭제곱을 나타냅니다. 1, 2, 4, 8, 16, 이런 식으로 나타내는 비트가 있습니다.00:16

각 비트의 자릿값을 모두 더하면 표현되는 숫자가 됩니다. 하지만 컴퓨터는 종종 정수가 아닌 숫자를 표현해야 합니다.00:28

즉, 소수 부분이 있는 숫자들을 말하는 거죠. 요즘 대부분의 컴퓨터는 이러한 숫자들을 표현하는 일반적이고 표준화된 방식을 따르지만, 예전에는 그러지 않았습니다.00:39

숫자의 소수 부분을 표현하는 방법은 여러 가지가 있었을 수 있습니다. 한 가지 옵션은 숫자의 소수 부분에 고정된 자릿수를 저장하는 고정 소수점 표현 방식이라고 알려져 있습니다.00:51

십진법으로 예를 들어보자면, 소수점 앞에 네 자리 숫자, 소수점 뒤에 네 자리 숫자를 저장해서 표현할 수 있습니다.01:04

이진법으로도 똑같은 일을 할 수 있습니다. 정수 부분에 4비트를, 소수 부분에도 4비트를 저장할 수 있습니다.01:12

음수 값은 일단 제외하고, 정수 비트는 1, 2, 4, 8을 나타내고, 분수 비트는 반, 분의 1, 분의 1, 8, 분의 1, 16을 나타냅니다.01:20

이런 표현 방식을 사용하면 1과 반이나 4.75 같은 숫자는 쉽게 표현할 수 있죠. 그런데 2.8처럼 어떤 숫자는 이 비트들로 정확하게 표현할 수 없어요.01:34

이 네 개의 분수 조합으로는 0.8과 정확히 일치하는 것이 없기 때문에, 컴퓨터가 할 수 있는 최선은 2.8에 최대한 가깝게 근사하는 표현을 사용하는 것 뿐입니다. 하지만 완벽하게 정확하지는 않겠죠.01:49

어떤 방식으로 실수(real number)를 표현하든 문제가 발생합니다. 왜냐하면 실수는 무한히 많지만, 표현하는 데 사용할 수 있는 비트 수는 유한하고 고정되어 있기 때문입니다.02:04

이러한 고정 소수점 방식은 숫자를 표현하는 방식인데, 표현할 수 있는 숫자의 크기가 더 이상 커질 수 없다는 문제가 발생할 수 있습니다.02:16

정수 자리에 모든 비트를 할당했을 때는 훨씬 더 큰 숫자를 표현할 수 있지만, 소수 자리에 일부 비트를 할당하면 그 표현 범위가 줄어듭니다.02:26

이 문제를 해결하는 방법, 그리고 현대 컴퓨터가 표준화한 방법은 바로 부동소수점 숫자입니다. 정수 부분과 소수 부분을 따로 저장하는 대신, 부동소수점 숫자는 가수(mantissa)와 지수(exponent)를 가지고 있습니다.02:37

십진법에서 과학적 표기법을 사용한 이 접근 방식이 익숙할 수도 있습니다. 예를 들어, 128은 1.28 곱하기 10의 2제곱으로 표현할 수 있습니다.02:52

0.0042는 4.2 곱하기 10의 음3승으로 나타낼 수 있습니다.03:04

각각의 표현에는 지수가 있고, 그리고 지수를 거듭제곱하여 곱해지는 1보다 크거나 같지만 10보다 작은, 즉 유효 자릿수라고도 불리는 가수 부분이 있습니다.03:14

이진법에서는 우리도 거의 같은 방식으로 할 수 있습니다. 지표는 항상 1.0대(일쩜공대)의 형태를 갖습니다. 왜냐하면 최소 1 이상이면서 2보다 작아야 하기 때문입니다. 지수는 정수 형태로 이진법으로도 나타낼 수 있습니다.03:28

숫자를 해석하려면 지수 값으로 2를 거듭제곱한 값으로 가수(mantissa)를 곱합니다.03:43

여기서 중요한 점은, 가수(mantissa) 부분과 지수(exponent) 부분에 할당된 비트 수가 고정되어 있기 때문에, 고정 소수점 표현 방식보다 훨씬 넓은 범위의 숫자를 부동 소수점 표현 방식으로 나타낼 수 있다는 것입니다.03:50

그 장점이 그냥 주어지는 건 아니에요. 숫자가 극단적으로 커질수록 소수 부분의 정밀도가 떨어지는 단점이 있지만, 보통은 괜찮은 절충안이라고 할 수 있죠. 그럼 컴퓨터는 실제로 부동소수점수를 어떻게 저장하는 걸까요?04:06

이 형식은 전기 전자 공학자 협회, IEEE에서 표준화되었습니다.04:21

IEEE 754 표준에서 부동소수점 숫자를 표현하는 다양한 형식이 제공되는데, 그중 가장 흔하게 사용되는 두 가지는 단정밀도와 이중정밀도입니다.04:27

단정도 형식은 숫자를 표현하는 데 32비트를 사용하고, 배정도 형식은 64비트를 사용하여 더 넓은 범위의 값을 더 정확하게 표현할 수 있습니다. 먼저 단정도 숫자부터 살펴보겠습니다.04:40

32비트는 숫자의 사인 값을 나타내는 1비트로 시작합니다. 0은 양수를 의미하고, 1은 음수를 의미합니다.04:55

그 다음 지수는 8비트, 그리고 가수(mantissa)는 23비트로 구성됩니다.05:03

지수(exponent)를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 그 값은 8비트로 저장되며, 0부터 255까지의 숫자를 표현할 수 있습니다.05:09

하지만 양수 지수뿐만 아니라 음수 지수도 표현해야 합니다. 그래서 음수 지수도 표현할 수 있도록 이 값의 범위 전체를 조정해야 합니다.05:19

어떻게 그렇게 할까요? 음, 이 범위의 중간에 있는 숫자, 127을 0 지수로 표현하는 겁니다. 127보다 큰 숫자는 양의 지수를 나타냅니다.05:32

127보다 작은 숫자는 음수 지수를 나타냅니다. 그래서 우리가 저장한 지수 값을 127에서 빼면, 실제 사용해야 할 지수를 알 수 있습니다. 양수든 음수든요.05:46

자, 이제 지수부(mantissa)에 대해 알아봅시다. 지수부의 각 비트는 1, 1/2, 1/4, 1/8과 같이 어떤 분수 자릿수를 나타냅니다.06:01

그렇게 하면 1 이상 2 미만의 값을 표현할 수 있습니다.06:11

그런데 이 모든 숫자가 1로 시작하기 때문에, 1을 실제로 저장할 필요가 없습니다. 초기에 1이 있다는 것을 가정하고, 1 뒤의 소수점 자릿수만 저장하면 됩니다.06:16

즉, 지수부를 저장하는 데 23비트를 사용하더라도, 실제로는 24비트의 정밀도로 지수부를 표현할 수 있다는 의미입니다.06:29

그리고 이게 핵심 아이디어입니다. 이제 만약 우리가 부동소수점 표현으로 숫자를 가지고 있다면, 가수(mantissa)에 초기 1을 더해서 그 숫자가 무엇을 나타내는지 알아낼 수 있습니다.06:38

그럼 지수를 취하고, 127을 빼서 실제 지수가 얼마인지 알아낼 수 있습니다.06:50

그 다음 지수를 2 거듭제곱한 값에 마티사를 곱하고, 사인 비트를 사용하여 결과가 양수인지 음수인지 결정합니다.06:57

표준의 몇 가지 추가적인 부분들이 언급할 만합니다. 한 가지 알아차렸을 수도 있는 점은, 만약 지수부가 항상 1과 2 사이에 있다면, 0을 나타낼 방법이 좋지 않다는 것입니다.07:07

표현하고 싶을 만한 다른 값들이 있을 수도 있습니다. 예를 들어, 계산 결과가 너무 커져서 무한대를 표현하고 싶을 수도 있죠.07:18

0으로 나누거나 음수의 제곱근을 구하는 것처럼 잘못된 값을 표현할 수도 있습니다. 우리가 설명해 온 부동소수점 형식으로는 아직 그걸 처리할 수 없습니다.07:27

그렇기 위해 다시 지수로 돌아가 보겠습니다. 기억하세요, 8비트를 이용해서 나타내고, 127을 빼고 있습니다.07:39

0부터 255까지의 값이 -127부터 128까지의 실제 지수를 나타내도록 합니다.07:47

IEEE 표준에서는 0과 255라는 극단적인 두 값을 특별한 의미를 가진 것으로 특수하게 정의합니다.07:57

그래서, 일반적인 부동 소수점 값은 실제 지수가 -126과 127 사이에만 표현할 수 있습니다. 그럼 이 극단적인 지수들은 어떻게 처리하나요?08:07

지수가 0이고 가수도 0이면, 그건 0이라는 숫자를 나타냅니다.08:20

지수가 최대값 255이고 가수부가 0이면, 사인 비트에 따라 무한대 또는 음의 무한대를 나타냅니다.08:26

지수가 0이고 가수부가 0이 아닌 경우, 소정밀수(subnormal numbers)라고 불리는 숫자를 표현하는 데 사용될 수 있습니다. 이 소정밀수들은 0에 매우 가깝지만, 일반적인 가수부와 지수 형식으로는 표현할 수 없는 숫자들을 의미합니다.08:37

지수가 최대 255이고 소수부가 0이 아닌 경우, 이는 숫자가 아니라는 것을 의미합니다.08:52

배정밀도 부동소수점 수, 흔히 '더블'이라고 불리는 형식은 매우 유사합니다.09:01

단지 지수와 가수에 사용할 수 있는 비트 수를 늘린 것뿐이에요. 가수는 23비트에서 52비트로, 지수는 8비트에서 11비트로 바뀌었죠. 지수에 더 많은 비트가 할당되면 훨씬 더 크고 훨씬 더 많은…09:07

작은 숫자와 더 많은 비트를 가수 부분에 사용하면, 해당 숫자들을 더욱 정확하게 표현할 수 있습니다. 그래서 컴퓨터는 부동 소수점 숫자를 이렇게 저장합니다. 숫자가 양수인지 음수인지 결정하는 부호 비트, 숫자가 얼마나 크거나 작은지 알려주는 지수가 있습니다.09:27

숫자는 기수와 함께 특정 정밀도까지 숫자의 값을 지정할 수 있게 해주는 유효 자릿수를 갖습니다.09:45