안녕하세요, 다시 Engineering Statics 강의 비디오 시청에 오신 것을 환영합니다.00:01

여러분 모두 잘 지내고 계시고, 혹시 1학년들이 가장 싫어하는 것, 바로 3차원 벡터에 대해 배우실 준비가 되셨기를 바랍니다.00:05

지난 세 개의 영상이나 첫 번째 주 영상에서, 우리는 2차원 벡터에 대해 많은 시간을 할애하여 설명했습니다.00:12

크기와 단위 벡터와 같은 것들에 대해 멋진 공식들을 몇 가지 도출해 냈고, 2차원 벡터는 실제로 꽤 유용하다는 결론을 내렸습니다.00:18

보기에도 쉽고, 상상하기도 편합니다.00:26

만약 두 차원 벡터를 가지고 있다면, x축과의 각도를 매우 쉽게 구할 수 있습니다.00:29

축이라고 말씀드리려고 했는데, 물론 그건 말이 안 되네요.00:35

크기나 힘의 성분들을 계산해 낼 수도 있었고, 전반적으로는 상당히 간단했습니다.00:39

이전에 말씀드린 것처럼, 다음 논리적인 단계는 이것을 시도하는 것이었습니다.00:43

이차원에서 배운 내용을 삼차원에도 적용해 보겠습니다.00:47

오늘 저희가 하게 될 일입니다. 혹시 걱정하시는 분들께, 클레이튼 씨, 저는 2D 작업에 매우 익숙했습니다, 라고 말씀드리고 싶습니다.00:51

고등학교 때 다뤘던 내용이에요. 저에게는 좋은 기억이고, 3D는 조금 무섭기도 합니다.00:57

걱정하실 필요 없어요. 지금 보시는 것처럼 아주 간단하고, 사실 크게 신경 쓰실 부분도 없답니다.01:01

저희는 하는 모든 일에 사소한 수정 한 가지씩을 추가하고 있습니다.01:07

자, 그럼 시작해 볼까요. 2차원으로부터 3차원으로 확장하는 개념이 복잡하게 들릴 수도 있을 겁니다.01:10

사실 굉장히 간단합니다. 왜냐하면 우리가 하는 일은 단 하나, 컴포넌트를 추가하는 것뿐이니까요.01:16

데카르트 좌표 벡터로 표현할 수 있습니다. 2차원 공간에서 힘 벡터가 있을 때, 이 벡터는…01:21

힘 벡터를 fx와 fy라는 두 가지 구성 요소로 분리하여 다음과 같이 벡터를 표현할 수 있습니다.01:27

그것은 단순히 i 방향의 fx 더하기 j 방향의 fy로 표현될 수 있습니다.01:33

세 차원에서는 사실상 완전히 동일한 현상일 것입니다.01:37

이 삼차원 벡터는 각 축에 평행한 세 가지 성분으로 나눌 수 있습니다.01:41

그러면 fy, fx, 그리고 물론 fz가 있겠네요.01:46

아마 아시겠지만, 이 부분도 쓰는 건 마찬가지로 간단합니다. 이전과 동일한 형식으로 진행될 예정입니다.01:50

하지만 유일한 차이점은 마지막에 세 번째 구성 요소를 추가한다는 것입니다. 그러면 저희는...01:56

우리는 K 방향으로 FC를 가지고 있습니다. K는 세 번째가 될 것입니다.02:00

필요하시다면 방향을 정해주시고, 저희 세력의 구성 요소는 fc가 될 것입니다.02:05

방향 전환이 되면, 학생들이 가장 싫어하기 시작하는 첫 번째 요소가 무엇인지 설명드리겠습니다.02:09

보통 일반적으로 일어나는 일들을 설명하기 때문에 '오른손 법칙'이라고 불리는 경우가 있습니다.02:14

시험 상황에서 여러분에게 약간의 팁을 드리자면, 교수님들은 보통...02:17

x축과 y축은 라벨링 해주세요, 하지만 양의 z축은 라벨링하지 않아도 됩니다.02:21

이제 우리, 엔지니어로서, 우리는 항상 긍정이 항상 위쪽이라고 생각하죠? 그래서 우리는, 괜찮다고 생각해요. 다 됐다고 생각하는거에요.02:27

끊임없이 위로 향하는 것처럼 보이지만, 실제로는 양의 Z축 방향이 '오른손 법칙'이라는 것을 따릅니다.02:33

규칙이죠. 지금 여러분은 클레이튼, 저게 무슨 뜻이에요? 라고 말씀하실 수도 있을 겁니다. 자, 한번 자세히 설명해 드리겠습니다.02:38

이것은 일련의 단계입니다. 그러므로 제가 양의 Z축을 찾고 싶을 때, 혹은 예를 들어...02:42

x축과 z축을 찾으면 양의 y축을 찾을 수 있습니다. 제가 손가락으로 가리키는 방향을 따라가면 됩니다.02:48

이제 양의 x축 방향을 향하게 하고, 손가락을 양의 y축 방향으로 굽히겠습니다.02:55

제 엄지손가락이 가리키는 방향이 실제로는 양의 z축 방향과 같습니다.03:01

혹시 여러분께서 말씀하시겠어요, 클레이튼, 그거 완전히 엉터리라고. 제가 무슨 말인지 전혀 이해가 안 되셨을 수도 있겠네요.03:07

예를 들어드릴까요? 네, 그럼요. 이런 것들을 배우는 가장 좋은 방법입니다.03:11

자, 그럼 시험을 예를 들어볼게요.03:15

다시 양의 x축과 양의 y축이 주어진 상황이며, 기본적으로는...03:17

보통 양의 Z축이 위쪽을 향한다고 가정하지만, 오른손 법칙을 따르면 달라질 수 있습니다.03:23

이 상황에서 다시 한번 말씀드리지만, 첫 번째 단계로 오른손 네 손가락을 사용할 겁니다.03:29

네, 확실히 오른손 맞습니다. 오른손 법칙이라고 부르는 이유가 바로 그거예요. 제가 제 손가락을 가리키겠습니다.03:34

손가락을 양의 x축 방향으로 향하게 해서 옆으로 조금 치워두세요. 이제 두 번째 단계는 제가 원하시는 게...03:39

손가락을 y축 쪽으로 기울여서, y축이 물론 이 방향으로 향하게끔 합니다.03:45

그래서 이제 손가락을 구부리고 싶습니다. 손가락을 구부리려고 할 때, 그03:49

그렇게 하려면 오직 논리적인 방법은 제 엄지손가락을 아래로 향하게 하는 것뿐입니다. 이 경우에는 특히 그렇습니다.03:55

Z축은 실제로는 아래 방향으로 향하고 있습니다. 보시면 제가 손을 말고 있는 것을 알 수 있습니다.04:00

손가락과 제 행동, 그리고 제 엄지손가락은 아래를 가리키고 있습니다. 그렇게 제가 가리키는 것을 알아채시기 바랍니다.04:04

손가락을 x축을 향하게 해보지만, 이쪽으로 굽히지는 못하네요. 그래서 이렇게 되는 거랍니다.04:09

위로 올라가지 않습니다. 엄지손가락이 아래로 향해야만 저는 구부릴 수 있습니다.04:14

이 특정 상황에서는 양의 Z축이 사실 아래쪽을 향하고 있습니다.04:19

자, 그럼 이제 반대 상황을 살펴보겠습니다. 이 경우에는 x축과 y축의 위치가 바뀐 경우입니다.04:24

이 경우라면, 저는 x를 가리키고 y축으로 굽힐 수 있습니다.04:29

그리고 보시다시피, 제 엄지손가락이 지금 위로 뻗어 있습니다. 다시 한번, 이쪽으로 말아 올리겠습니다.04:35

제 엄지손가락이 위를 향하고 있으므로, 이 경우에는 양의 Z축이 실제로 위쪽을 가리키게 됩니다. 이제 저는…04:40

제가 드릴 수 있는 최대한의 투명성을 보여드리고 싶습니다. 제가 알려드릴 팁이 있습니다.04:47

제가 왜 그렇게 표현하지 못했는지 모르겠네요. 분명 두 개의 'T'는 'ㅌ'으로 시작해야 하는 것 같습니다.04:51

오늘 조금 어렵네요. 시험에서 이런 유형을 거의 본 적이 없는 것 같아요.04:56

아주 드물게 쓸모가 있는, 사소하지만 알아두면 재미있는 일종의 것들이죠.05:01

여러분께서 테스트를 진행하셨으니 인지하고 계시길 바랍니다. 하지만 만약 정말로 어려움을 겪고 계시다면, 너무 걱정하지 마세요.05:05

시험에서 아주 드물게 볼 수 있는 유형이라, 한번 이야기해 보도록 하겠습니다.05:09

네, 다른 두 가지를 기억해 주시면 됩니다. 2차원 벡터에서 말씀드린 것처럼, 저희는…05:15

데카르트 벡터 형태로 나타내어, 덕분에 우리는 두 가지를 할 수 있었습니다. 첫 번째는요...05:18

두 번째는 크기와 단위 벡터입니다. 2차원에서는 이렇게 말씀드렸습니다.05:23

크기의 값은 매우 간단했습니다. 왜냐하면 제가 두 가지 성분, fx와 fy를 가지고 있기 때문입니다.05:27

음, 크기는 간단한 삼각법을 이용해서 구할 수 있습니다.05:33

그것의 크기는 단순히 fx 제곱에 fy 제곱을 더한 값으로 표현될 것입니다.05:38

그리고 나서 이 예쁜 직각삼각형이 있으므로 제곱근을 사용합니다.05:43

정말 아주 훌륭하게 잘 맞네요. 3차원에서는 실제로 어떻게 되는지 한번 살펴볼까요?05:47

믿기 어려울 정도로 같은 논리인데, 다시 한번 말씀드리지만 학생 여러분이시니까 이해하기 어려울 수 있다는 점은 알고 있습니다.05:52

3D가 항상 좀 더 어렵다고 생각했지만, 사실은 그렇지 않다는 것을 알면서요.05:56

그렇다고 말씀드릴께요, 저희가 가지고 있는 건 이런 점입니다. 겉보기에는 좋지 않지만요.06:00

실제로 정말 괜찮습니다. 그래서 만약 이런 3차원 벡터를 가지고 있다면, 저희는 시작할 수 있습니다.06:04

이제 삼각형들을 만들어 볼 텐데요. 우선 xy 평면에 있는 첫 번째 삼각형을 살펴보겠습니다.06:10

저기요. xy 평면에 삼각형이 있다면, 그 삼각형은 빗변을 가지는데, 저는 그걸 이렇게 부르겠습니다.06:16

네, xy 평면에 있기 때문입니다. 이 삼각형에 기본적인 삼각함수를 적용한다면요.06:21

기억하세요, 이것은 직각삼각형이므로, fxy 제곱은 fx 제곱과 더하기...06:27

빗변의 제곱은 두 변의 길이의 제곱을 더한 것과 같습니다.06:32

네, 지금까지는 괜찮습니다. 너무 심각한 일은 없었습니다.06:37

하지만 또 좋게 사용할 수 있는 점은, 이 도형을 이용해서 xy 평면과 수직으로 이어지는 또 다른 삼각형을 만들 수 있다는 것입니다.06:40

그리고 다시 한번 말씀드리면, 이것 역시 직각삼각형이 됩니다. 그리고 이것에 대해서는 이렇게 말씀드릴 수 있습니다.06:46

힘의 크기의 제곱은 fxy 제곱과 fz 제곱의 합과 같을 것입니다.06:50

지금 보기에 좀 복잡해 보이지만, fxy라는 부분은 실제로 공식이 있습니다.06:57

거기가 위에 있어요. 거기서부터 제가 구한 삼각형 하나의 값을 삼각형 둘에 대입할 수 있고, 결론을 내릴 수 있습니다.07:02

여기서 f의 크기는 fx 제곱에 fy 제곱을 더한 값의 제곱근과 같습니다.07:09

플러스 에프 제이 제곱입니다. 따라서 이것을 2차원 경우와 비교해 보면, 우리는 단순히 그 추가적인 성분을 더했을 뿐입니다.07:15

마지막으로 fz 제곱이 나오고, 여기서 3D가 생각보다 나쁘지 않은 이유는 우리가 앞으로 진행할 내용 때문입니다.07:21

어떤 상황에서도 추가적으로 필요한 요소 하나를 더하는 것이 중요합니다.07:26

그리고 재미있는 사실 하나 알려드릴게요. 이 과정에 꼭 필요하진 않지만, 만약 이걸 네 차원으로 확장한다면요,07:30

다섯 차원, 이 공식에 적용한다면 제가 할 일은 그저 추가적인 부분을 덧붙이는 것뿐일 겁니다.07:36

제곱 컴포넌트입니다. 선형대수학에서 더 자세히 배우게 될 텐데요, 아마 대부분 싫어하실 거라고 보장합니다.07:42

굉장히 색다른 수업입니다. 정말 재미있고요. 매우 유용하지만, 네, 뭔가 조금 다른 느낌이에요.07:48

그렇게 말씀드리겠습니다. 저희는 규모에 대해 이야기를 나누었습니다.07:55

저희는 말했죠, 아주 쉬울 거라고. 그냥 그 추가적인 컴포넌트를 더하면 된다고.07:59

그런데 유니트 벡터는 어떻죠? 클레이튼, 분명히 유니트 벡터는 조금 다른 점이 있을 거예요.08:03

음, 공식에 대해 이야기하기 전에, 유닛 벡터가 무엇인지 다시 한번 상기해 보는 것이 좋겠습니다.08:08

기억해 주십시오. 벡터는 기본적으로 크기와 방향으로 곱해진 값이라고, 이전 슬라이드에서 말씀드린 바와 같습니다.08:13

2차원에서는 그 방향을 벡터로 나타낼 수 있다고 말씀드렸습니다. 우리는 그 벡터를 단위 벡터라고 부릅니다.08:19

벡터입니다. 따라서 이것이 3차원 공간에서의 제 힘 벡터라면, 단위 벡터는 대략 이런 모습일 것입니다.08:25

크기가 1이므로, 힘 벡터보다 작을 것입니다. 그리고 그것은...08:30

그 힘 벡터와 같은 방향을 가지게 됩니다. 핵심은 바로 그 점입니다. 같은 방향을 가지며, 다시 한번 강조하지만요.08:35

그 힘 벡터의 방향을 정의하는 데 사용합니다. 이제 단위 벡터는 정말 유용합니다.08:40

공식에 2D와 비교했을 때, 저희가 해야 할 일은 그 요소를 추가하는 것뿐입니다.08:45

추가적인 구성 요소입니다. 따라서 2차원에서는 이 단위 벡터를 찾을 수 있다고 말씀드린 것을 기억해 주십시오.08:50

각 구성 요소들을 각각 힘의 크기로 나누어 주면 됩니다.08:55

그리고 동일한 정의가 여기에도 적용됩니다. 제가 한 것은 fx를 크기로 나눈 것뿐입니다.08:59

저는 fy를 크기로 나눈 값을 취했습니다.09:05

이제 세 차원으로 넘어가서, fz를 취하고 크기로 나누었습니다.09:09

따라서 2D와 마찬가지로 동일한 공식을 사용하면, 거기에 추가적인 요소 하나를 더하면 됩니다.09:13

이제 3차원 단위 벡터는 2차원에서 우리가 가졌던 동일한 속성들을 그대로 유지합니다.09:19

혹시 여러분이 단위 벡터에 대해 생각하고 계시다면, 이 점들을 꼭 기억하시길 바랍니다.09:24

세 가지 있는데, 첫 번째는 방향을 나타내는 데 쓰이는 것들일 뿐입니다.09:27

그들은 유닛 같은 건 가지고 있지 않아요. 방향을 정의하는 것뿐이에요.09:32

두 번째 포인트로 넘어가면, 단위가 없는 것인데, 이런 경우들이 있죠.09:36

교수님께서 일부러 그러시는 것 같고, 실수로 단위를 예를 들어서 잘못 입력하신 것 같습니다.09:40

단위 벡터에 미터나 피트를 사용하신다면 아마도 점수를 받으실 가능성이 높습니다.09:44

단위 벡터는 차원이 없기 때문에, 그저 정의를 나타낼 뿐입니다.09:48

이제 마지막 하나인데, 매우 중요하고 이 부분에 대해서는 이미 말씀드린 적 있습니다.09:52

이미 가지고 있는 그게 실제로 크기가 1이라는 점과 여러분이 말씀하고 계시죠.09:55

클레이튼, 계속 그렇게 말씀하시네요. 중요하다고 말씀하시지만, 우리는 쓸 일이 없었는데요.10:00

강의에서 나중에 해당 아이디어를 잘 다루겠습니다. 보시다시피, 앞으로 그것을 보게 될 것입니다.10:03

지금뿐만 아니라 앞으로 다룰 내용에서도 매우 중요하니 항상 기억해 주십시오.10:08

단위 벡터들은 크기가 1인 경우가 자주 유용하게 쓰일 수 있습니다. 여러분은요.10:13

음, 글쎄요, 클레이튼, 3D 씨, 말씀하신 대로 별로 나쁘지 않네요.10:18

저희가 추가적으로 넣은 것은 그 구성 요소 한 가지뿐입니다. CVN에서의 저희의 역량에 대해 이야기할 때, K 구성 요소를 추가했을 뿐입니다.10:22

규모에 대해 이야기할 때, 우리는 단순히 FZ 구성 요소의 제곱을 더했습니다.10:28

우리가 단위 벡터에 대해 이야기할 때, 그냥 K 컴포넌트를 추가했을 뿐이에요. 아주 간단하죠? 음, 그렇기도 하고 그렇지 않기도 하네요.10:32

3차원 공간이 좌표방향각을 이야기하게 될 때 조금 더 복잡해지기 시작합니다.10:39

2차원일 때 두 가지 구성 요소가 있을 때, 그것을 확인하기가 매우 쉬웠습니다.10:45

벡터가 x축과 이루는 각도를 알 수 있다면, 그리고 그 각도가 주어진다면요.10:50

X축을 이용하면 각도를 쉽게 결정할 수 있습니다.10:55

벡터가 y축과 이루는 각도를 기준으로 제가 90도에서 그 각을 빼는 방식으로 진행합니다.10:59

크기를 고려하면 조금 더 복잡해지는데, 사실 세 가지를 가지고 있기 때문입니다.11:04

좌표 방향 각도를 고려할 때, 고려해야 할 축들이 3차원입니다.11:07

벡터가 양의 축과 이루는 각도를 나타냅니다. 자, 핵심적인 부분이 나올 예정입니다.11:12

여기입니다. 이 각은 양의 축과 이루는 각도입니다. 자, 제가 제...11:17

힘 벡터인데, 꽤 매력적입니다. fx, fy, fz를 모두 포함하고 있어서요.11:23

좌표 방향각은 대략 이렇게 보일 겁니다. 따라서, 11:28

우리가 힘 벡터를 양의 x축과 일치하게 만들 때 생기는 각을 알파라고 부릅니다.11:32

양의 y축에서부터 우리 벡터까지의 각도를 베타라고 부르겠습니다. 그리고 마지막으로...11:36

우리 벡터와 양의 Z축 사이의 각도를 감마라고 부르죠, 알겠습니다.11:42

사람들이 클레이튼을 보면서, '그 모양이 좀 별로인 것 같아 보여.'라고 말하고 있어요.11:48

끔찍하지만, 여기 작은 팁입니다. 좌표 각도의 방향이 그렇습니다.11:52

실제로, 가장 친한 친구분들은 최대한 편하게 해주시려고 노력하실 거예요.11:56

좌표를 사용해서 힘의 성분들을 알아낼 수 있는 이유입니다.12:00

방향 각도에 유의하시기 바랍니다. 일반적으로 힘의 크기가 주어지는 경우가 많습니다.12:05

CVN에서는 힘의 값을 직접적으로 주지 않으십니다. 크기, 그리고 삼각함수 관련 정보는 주시지만, 그 값을 알아내셔야 합니다.12:09

CVN에서 그 힘이 무엇인지 알아낼 수 있습니다. 좌표 방향각이 주어지면 매우 쉽게 계산할 수 있습니다.12:16

각 구성 요소를 찾아야 합니다. 왜냐하면 저희가 할 일은 그 크기, 즉 magnitude를 활용하는 것이기 때문입니다.12:21

주어진 값을 곱한 다음, 좌표 방향각의 코사인으로 나누어 주십시오.12:26

Fx에 대해서는 F의 크기를 가져와서 알파의 코사인 값으로 곱할 예정입니다.12:30

y의 경우, 베타의 코사인 값만 제외하고는 동일합니다. z의 경우, 감마의 코사인 값만 제외하고는 마찬가지입니다.12:36

여기서 한 가지 눈여겨 보시는 점은, 모두 코사인 함수들입니다. 그리고 이 부분은 바로 여기에서 설명드리겠습니다.12:42

이런 사소한 일들이 몇 가지 있습니다.12:48

각도는 항상 0도에서 180도 사이의 값을 가질 것입니다.12:50

네, 알겠습니다. 180도 이상은 안 됩니다. 그렇지 않으면 음의 축에서 측정을 시작하거나...12:55

반대 방향입니다. 따라서 저희의 각도는 항상 0도에서 180도 사이가 되며, 이는 매우 중요합니다. 왜냐하면 이 덕분에 가능하기 때문입니다.13:01

우리의 코사인 값이 양수 또는 음수가 되려면요.13:08

음, 예를 들어 제가 축을 가지고 있는데, 그 축이 왼쪽으로 양의 방향을 향하고 있다고 가정해 보겠습니다.13:11

네, 맞나요? 아니면 이쪽이 맞다고 해야 할까요? 조금 헷갈립니다.13:16

긍정 방향은 오른쪽으로 향하고 있지만, 제 힘 벡터는 사실 왼쪽으로 향하고 있어요.13:20

여기서 볼 수 있듯이, 각도는 90도보다 클 거예요.13:25

자, 예를 들어 120도라고 가정해 보겠습니다. 120도의 코사인 값을 구하면 음수 값을 얻게 됩니다.13:29

여기 제시된 이 수치는 방향을 고려하여 계산됩니다. 왜냐하면 제가 가하는 힘이 더 크기 때문입니다.13:35

90도가 되면 자동으로 음수가 되는데, 이는 반대 방향으로 향하고 있다는 것을 의미합니다.13:42

덕분에 저희에게는 부정적인 요소들을 처리할 수 있는 좋은 기회가 되었습니다.13:47

여기서 보시다시피, 2D에서 우리가 가지고 있던 직관력들이 3D에서는 수학 때문에 많이 사라지는 것을 알 수 있습니다.13:52

필요한 모든 것을 고려하기 시작해서 정말 좋네요.13:59

그것은 우리가 덜 생각해야 한다는 뜻이며, 그것이 항상 최선의 해결책입니다.14:02

좌표 방향각에 대해 말씀드리겠습니다. 좌표 방향각은 사실 단위 벡터와 매우 특별한 관계를 맺습니다.14:06

그리고 이것은 교수님들이 기말시험이나 과제에서 여러분을 당황하게 만들려고 자주 사용하는 함정입니다.14:13

하지만 보통 시험 때까지 아껴두는 경향이 있습니다. 과제에서 주어지면 여러분은 그 꼼수를 눈치채실 수 있을 겁니다.14:18

만약 시험에서 갑자기 내면, 음, 꽤 곤란해지실 거예요. 이것이 트릭 넘버 원입니다.14:24

좌표 방향각은 단위 벡터와 매우 특별한 관계를 형성합니다.14:29

단위 벡터 공식을 살펴보면 매우 간단하다는 것을 알 수 있습니다. 각 부분을 그냥 가져오면 됩니다.14:35

이제 저희 힘의 크기로 구성 요소를 나누어 보겠습니다. 클레이튼이라고 말씀드리고 있습니다.14:39

좌표 방향 각도로부터 그 구성 요소가 무엇인지 정확히 알 수 있습니다.14:46

FX는 크기에 알파 각도의 코사인 값을 곱한 것임을 알고 있습니다. FY 또한 마찬가지입니다.14:49

F는 cosβ와 곱해지고, FC는 당연히 F와 곱해집니다.14:54

만약 좌표 방향에서의 그 항등식들을 활용한다면 코사인 감마는 어떻게 될까요?14:59

각도들을 대입하여 단위 벡터 공식에 적용하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.15:02

여기 풍경이 좋네요. 위에 F의 다양한 크기를 많이 볼 수 있어서요.15:09

아래쪽에 있어서 제가 만약 약을 복용한다면 그것들을 모두 취소할 수 있습니다.15:13

물론 동일한 것으로 나누기 때문에 서로 상쇄되어 이러한 공식이 성립하게 됩니다.15:17

실제로 단위 벡터를 활용하여 다음과 같이 단순화될 수 있습니다.15:21

알파의 i 방향 코사인과 베타의 코사인을 계산함으로써 바로 얻어낼 수 있습니다.15:25

k 방향의 방향 성분과 감마의 k 방향 코사인 각도에 대해서는 힘의 크기를 전혀 사용할 필요가 없었습니다. 이미 알고 있었기 때문입니다.15:31

제 단위 벡터가 어떻게 될지 알게 되어 정말 좋네요. 마치 첫 번째 작은 단계처럼 느껴져서요.15:37

자, 이제 요점은 여기에서 드러납니다. 단위 벡터의 크기는 1이라는 것을 알고 있죠. 제가 말씀드린 바는요…15:42

항상 그런 말씀을 드리지만, 지금 이 부분이 아주 유용하게 쓰이는 첫 번째 순간입니다. 제가 그걸 한번 살펴보면요.15:48

제가 가진 공식인데, 그 크기가 1이라는 것을 알고 있습니다.15:53

따라서 모든 구성 요소의 제곱을 구한 후, 그 제곱근을 취하는 것을 요약할 수 있습니다.15:57

코사인 제곱 알파, 코사인 제곱 베타, 그리고 코사인 제곱 감마가 주어졌을 때.16:01

그게 1과 같죠. 이걸 간단하게 만들 수 있습니다. 양변을 제곱하면 돼요.16:06

왼쪽에는 제곱근이 사라지고, 1의 제곱이네요. 아직도...16:10

알파의 코사인 제곱에 합하면 1이 됩니다. 다음과 같은 식을 얻게 됩니다.16:14

베타의 코사인 제곱에 감마의 코사인 제곱을 더하면 모두 1과 같습니다.16:20

여기서 묘미가 나타나는 이유는 교수님들께서 좌표 방향 각 두 개만 주시고 많은 학생들이 어려움을 느끼기 때문입니다.16:26

아, 좌표 방향 각도가 두 개 있어서 아무것도 할 수가 없네요.16:33

세 번째 것을 얻어야 의미가 있을 것 같습니다. 혹시 두 개를 알고 계신가요?16:36

각도 중에서 실제로 이 공식으로 세 번째 각도를 구할 수 있는 것들이 있습니다.16:40

예를 들어, 알파와 감마가 무엇인지 안다면 이 방정식에서 제가 알아야 할 유일한 값은 베타뿐입니다.16:44

베타 값을 바로 구할 수 있도록 할 수 있습니다. 웃음이 나옵니다. 시험을 보고 있는데, 그들이 속임수를 던져도, 제가 그 속임수가 무엇인지 알고 있습니다.16:51

정말 즐거운 시간을 보내고 있습니다.16:57

그것이 첫 번째 과제일 겁니다. 이제 우리가 논의해야 할 마지막 한 가지는 이러한 벡터 문제를 해결하는 것입니다.16:59

크기의 공식과 단위 벡터를 다루었었고, 처음에는 모두 가지고 있었습니다.17:04

구성 요소들에 대해서 말씀드렸습니다. fx, fy, fz가 있다고 했습니다. 그리고 이 세 가지 구성 요소를 안다면, 모든 것이 가능합니다.17:10

간단하게, 그냥 모든 것을 공식에 대입하는 것뿐이에요. 하지만 보통 이러한 경우에는 기억해야 해요.17:16

우리가 답변할 수 없는 유형의 질문들이 있습니다. 구성 요소는 주어지지 않고, 실제로는…17:20

힘의 크기나 삼각법과 관련된 내용이며, 초기 단계로서 활용될 수 있습니다.17:24

알고 있는 내용을 바탕으로 힘 벡터를 데카르트 좌표계 형식으로 표현해야 합니다.17:29

3D 시나리오의 경우, 이러한 힘의 구성 요소를 찾기 위해 일반적으로 세 가지 경우가 있습니다.17:34

아니요, 공식적인 것은 아니고, 제 개인적인 세 가지 사례입니다. 그래서…17:39

세 가지 사례들을 알고 계신다면, 어떤 상황에서도 문제없이 잘 해내실 수 있을 겁니다.17:44

제가 말씀드리는 첫 번째 경우는 삼각함수 케이스라고 부르죠.17:48

학생들이 가장 싫어하는 것 중 하나라고 생각하는데, 또 다시 삼각함수네요.17:52

아무도 삼각법을 좋아하지 않습니다. 바로 이런 경우에 해당하겠습니다.17:56

그분들은 저희에게 3차원 힘 벡터를 제공해 주시고, 또한 두 개의 삼각법 항등식을 제공해 주십니다.17:59

그분들은 xy 평면부터 벡터에 이르기까지 각도를 알려주십니다. 그것은 세타 1이 될 것입니다.18:06

사진을 찍은 다음, xy 평면에서 세타 2의 각도를 알려주십니다.18:11

이 특정 경우에는 굉장히 복잡해 보일 수 있지만, 실제로는 두 개의 밝은 삼각형을 푸는 문제일 뿐입니다.18:17

그래서 첫 번째 삼각형은 바로 나올 겁니다.18:23

여기서, xy 평면에서 시작해서 밖으로 이동한다면 fxy가 됩니다. 그리고, 만약 제가 이동한다면...18:25

그 지점부터 위로 올라가면 fz가 됩니다. 이것이 저희의 첫 번째 단계가 될 것입니다.18:31

삼각형과 각은 물론 세타 1이 될 것입니다.18:35

여기서부터 저는 두 가지 결론을 내릴 수 있습니다. 제 Fz 성분은 단순히 크기에 각도 세타의 사인 값을 곱한 것일 겁니다.18:39

네, 그렇게 간단합니다. 바로, 이미 제 컴포넌트 중 하나를 가지고 시작할 수 있겠네요.18:46

만약 코사인 값을 계산한다면, Fy나 Fz 값을 얻지 못하고 있습니다.18:49

실제로 Fxy 값을 얻고 있습니다. 따라서 이것은 xy 평면의 벡터가 되겠네요.18:54

그리고 다시 말씀드리면, F의 크기를 취해서 코사인 값으로 곱하는 것과 같습니다.18:59

세타 1의 경우입니다. 이 시점에서 세 가지 구성 요소 중 하나를 알게 되었습니다.19:04

나머지 두 개는 어떨까요? 음, 이들은 세타 2라는 두 번째 각도를 사용해서 다시 한 번 삼각형을 만들면 얻을 수 있습니다.19:10

제가 x 방향으로 fx 만큼 이동하고, y 방향으로 fy 만큼 이동하면, 이렇게 형태를 이루는 것을 확인할 수 있습니다.19:17

fxy를 포함하는 또 다른 삼각형이 있습니다.19:24

이 경우 제 fx는 fxy 곱하기 theta의 코사인 값이 될 것이고, fy는요.19:26

이는 fxy 곱하기 세타 2의 사인 값이 될 것입니다.19:32

fxy 값을 구하기 위해, 비록 보기에 의미 없어 보이는 중간 과정처럼 보일지라도, 실제로는 꼭 필요합니다.19:35

결국 최악의 경우이지만, 사실은 꽤 간단합니다.19:43

단 네 번의 계산이면 괜찮으실 거고, 모든 구성 요소를 이해하실 수 있게 되실 거예요. 그리고 나서 단위 벡터나 크기 같은 내용으로 진행하실 수 있을 겁니다.19:47

이런 종류의 일들입니다.19:55

자, 두 번째 경우는 제가 좌표각이라고 부르는 경우인데, 아니면 좌표방향각이라고도 합니다. 방금 저희가 이야기했던 바로 그 경우입니다.19:56

더 쉬운 경우일 거예요. 그래서 3차원 힘 벡터를 주시고, 아주 친절하게 설명하실 때가 있습니다.20:03

그리고 나서 세 개의 좌표 방향각을 알려주시게 됩니다. 만약 그럴 경우, 클레이튼 씨는 이 이야기가 농담이라고 말씀하셨습니다.20:09

그 좌표 방향 각도를 알면 그 구성 요소들을 찾을 수 있다는 것을 알고 있습니다.20:15

fx는 f의 크기에 코사인 알파를 곱한 값과 동일할 것입니다.20:19

f의 크기에 코사인 베타를 곱한 값이 fy가 됩니다.20:24

마지막으로, fz는 f의 크기에 감마의 코사인 값을 곱한 것과 같습니다.20:27

보시다시피, 이 경우는 사실상 좀 더 쉬운 편입니다.20:31

기억해 주셔야 할 점은, 이 문제에서 제시되는 유일한 함정은 두 개의 좌표 방향각만 주어진다는 것입니다.20:35

알파와 베타라고 가정해 보겠습니다. 그리고 나서 '감마는 어떻게 찾을 수 있을까요?'라고 말씀하시는 거죠.20:40

음, 코사인 알파 제곱에 베타를 더하고, 코사인 베타 제곱에 코사인 감마 제곱을 더하는 것은요, 그게...20:44

모두 1과 같습니다. 따라서 두 각도를 알면 나머지 한 각도를 구할 수 있습니다.20:52

세 가지 모두 알게 되면, 모든 부분을 알아낼 수 있을 겁니다.20:55

이것들이 초기 단계에서 보시게 될 주요 사례 두 가지입니다.21:00

저기요, 클레이튼 씨, 실수를 하셨네요. 세 가지 사례가 있다고 말씀하셨는데, 두 가지만 보여주셨잖아요.21:04

음, 사실 세 번째 경우도 있기는 하지만, 이번 영상에서는 다루지 않겠습니다.21:10

세 번째 경우는 앞의 두 경우와는 상당히 다르고, 훨씬 더 다릅니다.21:15

앞으로 나아가면서 매우 중요하게 사용될 포지션 벡터라는 것을 활용합니다.21:20

이 영상에서 논의하지 않는 이유는, 앞의 두 사례와 상황이 다르기 때문입니다.21:25

처음 두 가지 사례는 삼각함수를 포함하며, 여기서의 모든 계산은 코사인으로 이루어집니다.21:29

각도의 사인인데요, 현실적으로는 이것을 계산하는 것이 비현실적일 수 있습니다. 예를 들어서 말씀드린다면...21:35

전화 기둥까지 뻗어 나가는 커다란 전선이 지지대 역할을 합니다.21:39

엔지니어로서, 댁은 밖으로 현장에 나가 작고 보잘것없는...21:43

분각자를 꺼내서 각도를 측정해 보세요. 그렇게 하면 어리석어 보일 수도 있습니다.21:47

이 두 가지 경우는 알아두면 좋지만, 현실적으로는 실용성이 떨어지는 경우가 있습니다.21:52

우리는 현실 세계로 나가서 물건들의 각도를 정확하게 측정하지는 않죠.21:56

저희의 위치와 좌표를 알면, 어떤 것의 위치를 알 수 있습니다.22:00

그리고 나서 저희는 다른 것의 위치도 알게 될 텐데, 방금 말씀드린 것처럼요.22:05

다음 강의에서는 두 위치를 알게 되면 실제로 값을 구할 수 있습니다.22:08

부품들을 정말 간단하게 설명드리려고 하는데, 다음 영상에서 조금 더 다루도록 하겠습니다.22:12

좋네요. 우선 이 두 가지 경우를 알아야 하고, 그런 다음에 논의하도록 하겠습니다.22:19

다음 영상에서 세 번째 사례를 다루겠습니다. 3차원 벡터의 구성 요소에 대해 이제 알게 되었으니, 말이죠.22:22

단위 벡터의 크기 및 좌표 방향각에 대한 공식이 마지막에 남아있습니다.22:28

이 질문들이 요구하는 것은 단순히 벡터들을 더하는 것뿐입니다. 그러면 아마 세 개가 나올 것입니다.22:33

벡터에 대해 말씀하시고, 제가 원하는 결과가 벡터라는 것을 아실 겁니다. 만약 저희의 모든 벡터를 가지고 있다면요.22:37

데카르트 벡터 표기법으로 표현하면, 이전과 같은 방식으로 더할 수 있습니다. x22:42

이 컴포넌트는 단순히 모든 x 성분들의 합으로 구성될 것입니다.22:49

결과적으로 얻어지는 y 성분은 모든 y 성분들의 합계가 될 것입니다.22:52

지금 저희가 하고 있는 일은 z축 구성 요소를 추가하는 것뿐입니다.22:56

다시 한번 말씀드리지만, 우리는 그것들을 모두 가져와서 합쳐서 사용합니다.23:00

이것을 보여주는 가장 좋은 방법은 예시를 드리는 것입니다. 예를 들어, 세 개의 벡터를 주시고, 클레이턴에 대해 질문한다고 가정해 보겠습니다.23:04

f1에 f2, f3까지 더한 그 결과 벡터를 원하는데, 아마 말씀하시는 건 이 벡터가 ~처럼 보인다는 거겠네요.23:09

정말 많은 일이네요. 사실은 별로 어렵지 않아요. F, 즉 결과 벡터는 다음과 같은 값을 가지게 될 거예요.23:15

i 방향 성분입니다. 따라서 제가 할 일은 f1의 i 성분들을 가져오는 것입니다.23:20

f2와 f3를 합쳐서 계산하면 2 빼기 1 더하기 3이 됩니다.23:25

그리고 그것이 저의 결과적인 i 성분이 될 것입니다. j 성분의 경우에도 마찬가지로 세 가지를 모두 가져다가 사용하고 있습니다.23:30

f1, f2, f3의 그 j개 구성 요소들을 각각 더한 다음, 동일한 방식으로 다른 것에 대해서도 적용합니다.23:37

제 결과 벡터는 4i 더하기 2j 더하기 3k 컴포넌트로 구성됩니다.23:42

이제 이걸 알게 되어서, 단위 벡터를 구할 수 있고, 크기도 계산할 수 있고, 그런 재미있는 것들을 할 수 있을 것 같습니다.23:47

보시다시피, 정말 보기 좋은 것 같습니다.23:53

음, 지금 말씀하시는 거 Clayton 씨는 괜찮아 보이는데, 저는 어리석지 않습니다. 너무 괜찮아 보이는 게 걱정되네요.23:56

나이가 들어서야 비로소 그런 걸 배우게 되죠. 뭔가가 보기 좋으면, 아마 무언가 안 좋은 일이 기다리고 있을 가능성이 높답니다.24:03

그리고 그 답은...24:09

네, 그렇습니다, 그렇지 않습니까. 아마 여러분이 듣고 싶어하는 답은 아닐 겁니다만, 현재까지는 그렇습니다.24:11

벡터에서 결과를 얻고 싶다면 그냥 모든 것을 더하면 됩니다. 괜찮습니다.24:17

그리고 그게 맞는 말입니다. 왜냐하면 지금까지 우리는 '동시성'이라고 불리는 것을 다루어 왔기 때문입니다.24:22

시스템 관련 사항이 다음 주에도 계속 발생할 예정이므로 괜찮습니다. 동시 시스템도 괜찮습니다.24:26

이런 것들은 괜찮지만, 문제는 이 모든 시스템이나 힘들이 한 지점에서 동시에 작용한다는 점입니다.24:31

그것은 그러한 단순함을 모두 가능하게 합니다. 이를 통해 저희는 모든 힘들을 모아서 합산할 수 있습니다.24:38

만약 제가 모든 것을 한 곳에 모으는 것이라면, 이 점은 제 에어팟 케이스가 되는 것이고, 음, 우리가...24:43

저도 보니까, 이 물건은 정말 부드럽게 움직일 것 같습니다.24:50

네, 여전히 중요한 부분입니다. 다만 저희가 진행하려 하고 있습니다.24:53

4주차 이후로 다룰 내용은 '비동시 시스템'이라고 불리는 개념입니다.24:56

그리고 우리 측이 같은 지점에서 행동하지 않을 때입니다. 대략 이렇게 되는 것이죠.25:01

여기서부터 복잡함이 시작되는데, 귀에 힘이 작용하고 엉덩이에도 힘이 작용한다면, 그게 문제가 되기 때문입니다.25:06

그리고 제가 밀면, 보시는 것처럼 이 물건이 돌기 시작합니다. 그리고 그 부분이 조금 더 복잡해질 겁니다.25:13

아마 지금은 정말 쉬워 보일 테니 놀라지 마세요. 앞으로는 조금 더 복잡해질 수도 있지만, 전체적으로는 괜찮을 거예요.25:20

사실 그렇게 나쁘지 않을 거예요. 네, 이번 영상은 이것으로 마무리하겠습니다.25:27

3D 벡터에 대해 편안하고 익숙하신지 바라겠습니다.25:31

다시 말씀드리지만, 여전히 엉망처럼 들릴 수 있습니다. 하지만 저희가 하고 있는 일은 그저 추가적인 부품들을 덧붙이는 것뿐입니다.25:35

다음 영상에서는 위치 벡터에 대해 더 자세히 다루어 볼 텐데요, 이것은 벡터를 정의하는 세 번째 경우에 해당합니다.25:39

그리고 나서, 제가 첫 번째로 보여드릴 실제 시험 팁이 있습니다.25:45

네, 중간고사 전에 두 개의 강의가 항상 학생들에게 어려움을 줘요.25:50

그리고 그 영상이 바로 다음 영상으로 이어질 예정입니다. 그리고 더 늦게 또 다른 영상이 나올 예정입니다.25:55

하지만 그 쓰레기 같은 부분은 나중에 다루도록 하겠습니다. 아마도 모든 공학 분야에서 가장 안 좋은 부분일 가능성이 높으니까요.25:59

네, 그래서 이것으로 이 영상은 마무리하겠습니다. 시청해 주셔서 정말 감사합니다.26:05

정말 감사합니다. 즐거운 하루 보내시고 다음 영상에서 또 만나요.26:10