안녕하세요, 여러분. 또 다른 영상에 오신 것을 환영합니다.00:00

오늘 저는 서로 다른 좌표계에서 벡터를 표현하는 방법과, 회전을 이용하여 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환하는 방법에 대해서 말씀드리고자 합니다.00:03

행렬들입니다. 우리가 운동학 및 동역학 연구를 더 깊이 파고들면서, 종종 갖는 것이 정말 편리하다는 것을 알게 될 거예요.00:10

여러 좌표계가 있고, 임의의 벡터를 적어내고 표현하려면 도구와 표기법이 필요할 겁니다.00:17

아시다시피, 저는 토론을 촉진하기 위해 예를 드는 것을 좋아하고, 또한00:25

무인 항공기를 날리는 것을 좋아해요. 그럼 우리가 결합할 수 있는 방법이 있는지 한번 살펴보죠.00:30

이 두 가지 중에서요. 만약 이것이 윌리 왕카의 투어보다 더 재미있게 들리신다면요00:34

초콜릿 공장이요, 아마 아무도 끔찍한 최후를 맞지 않는 곳일 것 같네요.00:37

그럼 이것을 공중에 띄워보겠습니다. 이 시나리오에서는, 제가 벡터를 설명하고 싶은 상황을 가정해 보겠습니다.00:42

그럼 이 병을 벡터의 시작점으로, 그리고 저 별을 벡터의 끝점으로 나타내겠습니다.00:49

이제 저희가 할 수 있는 것은 이 빨간 밧줄을 사용해서 벡터의 시작점과 연결하는 것입니다.00:55

벡터의 끝 지점이고, 어쩌면 이 빨간 선을 벡터 P라고 부르겠습니다. 이제 저희가01:02

이 벡터 P를 보세요. 다음에 우리가 하고 싶은 것은 누군가에게 설명해 달라고 부탁하는 것입니다.01:08

이 벡터 P를 가지고, 이 경우에 프레드라는 분에게 물어보겠습니다. 제가01:12

프레드라고 라벨이 붙은 이 모자를 써서, 마치 그의 입장에서 바라보는 것처럼요.01:16

그래서 저희는 프레드에게 벡터의 시작 지점부터 어떻게 이동하는지 설명해 달라고 요청하고 있습니다.01:20

팁입니다. 그래서 프레드가 X축을 지정할 수 있도록 좌표계를 부착해야 합니다.01:24

그리고 y축이 여기 있고요. 그리고 이 상황에서는 z축이 페이지 안쪽으로 들어가게 됩니다.01:29

그래서 프레드가 지금 할 수 있는 것은 x축을 따라 얼마나 걸어야 하는지, 그리고 얼마나 걸어야 하는지 측정하는 것입니다01:35

기저부에서 끝까지 가려면 y축 방향으로 걸어갈 필요가 있나요?01:42

그리고 그가 말하기를, 오, 당신은 X축으로 1.88미터, Y축으로는 마이너스 0.68미터 이동해야 합니다.01:46

이제 다른 관찰자에게도 이것을 다시 물어보겠습니다. 그래서 이 관찰자를 조라고 부르죠.01:52

그래서 역할을 바꿀게요. 그러면 제가 이 초록색01:58

조라는 새로운 라벨이 붙은 모자를 쓰고, 조는 약간 다른 좌표계를 사용할 예정입니다.02:00

여기에요. 보시면 똑같은 Z축이 있지만, 약간 다르게 맞춰져 있어요. 이제 우리는02:07

다시 한번 조가 생각하는 x축과 y축을 거기에 그려 주시겠어요?02:12

그리고 저희가 말씀드린 것처럼, 그것들은 조와 프레드 모두와 z축을 공유합니다.02:19

이제 여기 있는 조에게도 같은 것을 부탁하겠습니다02:23

측정이라는 것이요, 기본점부터 끝점까지 어떻게 가는지요. 그래서 얼마나 가야 할지 측정합니다.02:26

제 x축과 제가 y축으로 얼마나 가야 하는지 같은 거예요. 그리고 그가 그러면서 '아, 그거 알아요. 그저'라고 말하더라고요.02:30

x축 방향으로 2미터, y축 방향으로는 0미터만큼 이동하여, 무언가 분명히 일관적이지 않은 상황이 생겼습니다.02:37

여기 빨간색 벡터가 정확히 똑같지만, 수치적으로는 같아 보이지 않네요. 자, 그럼 우리는 보게 됩니다.02:43

여기에 부족한 점이 바로 저희 표기법이기 때문입니다. 저희가 분명히 봤잖아요.02:50

이 벡터는 프레드의 관점에서 오른쪽으로 1.88, 왼쪽으로 0.68입니다.02:56

여덟, 이거 조가 여기서 본 거랑 전혀 같지 않죠?03:04

그래서 프레드는 여기 있었고, 조는 여기 있었어요.03:09

그래서 여기서 더 나은 방법은 아마도 저희가 논의할 수 있는 어떤 표기법을 채택해야 한다는 것입니다03:13

P라고 부르는 벡터가 있고, 이제 어떤 프레임인지 표시해야 합니다.03:18

이것을 숫자 값으로 표현하려고 합니다. 그래서 여기 오른쪽 상첨자(superscript)를 사용하도록 하겠습니다.03:24

여기서 R을 사용해서 예시를 보여드릴게요. 여기서 R이라는 슈퍼스크립트는 이 벡터 P가 될 거라는 의미예요.03:30

하지만 수치적으로는03:38

FR들로 표현되었습니다.03:41

여기서는 수치로 FR 단위로 표현하는 것이 더 나을 것 같지 않으세요?03:49

그러니까 값들 중에서 첫 번째 값은 프레임 FR에서 X 값으로 얼마나 진행되는지를 나타낼 거예요.03:53

두 번째 값은 여기 프레임 R의 Y 값 방향으로 얼마나 이동하는지를 나타냅니다.04:00

그래서 이 경우에, 좀 더 오해의 소지가 없도록 말이죠,04:06

저희가 여기서 프레드의 관점에서 온 이 벡터 P에 대해 쓰지 말았어야 했는데 말이죠04:09

1.88이고 마이너스 0.68이에요.04:15

그리고 조의 관점에서 벡터 P는 2.0이고04:20

여기요. 알겠죠? 이렇게 하면 이 모호함 중 일부가 좀 해소될 거예요.04:27

그럼 다시 한번, 이 위 첨자를 사용하여 주어진 벡터 중 어느 프레임으로 표현되었는지 나타내겠습니다.04:34

여기요, 맞죠?04:41

자, 이제 이걸 정리했으니, 저희가 여기서 다음에 이야기해야 할 것은 아마도 이게 관련이 있다는 점인 것 같아요.04:42

제 말은요, 이 두 가지 모두 같은 벡터에 대해 이야기하고 있다는 겁니다. 단지 여기서 시각이 다를 뿐이죠?04:49

따라서 조의 좌표계와 프레드의 좌표계 사이를 변환할 방법이 분명히 있을 거예요.04:53

그래서, 여기서는 회전 행렬에 대한 논의로 이어집니다. 그럼 회전 행렬에 대해 이야기해 볼게요.04:58

자, 여기 보드에 적힌 내용 중 일부를 지워서 공간을 좀 더 확보해 볼게요.05:09

네, 여기서 저희가 이야기하는 것은 한 공간에 표현된 벡터를 번역하려면 수학이 필요하다는 것입니다.05:13

다른 프레임에서 이렇게 표현된다는 것입니다.05:20

그럼 다시 같은 벡터, 여기에 P라고 부를게요. 이번에는 세 차원으로 써볼까요.05:24

자, 그럼 제가 지금 이거를 그려보려고 하고, 여기에 3차원 좌표계를 그려보겠습니다.05:31

자, 이렇게 해 볼까요.05:38

그래서 여기 X 햇 R이 있고, 여기 Y 햇 R이 있고, 그다음에05:40

오른손 좌표계는 이렇습니다. 그래서 여기 Z 햇 R이 있습니다.05:48

여기에 FR 프레임이 있습니다. 그렇죠? 전부 다 직각입니다. 여기 직각이 있고, 여기도 직각이요.05:52

그리고 마지막 직각은 이런 것과 비슷합니다.05:59

다들 상황을 이해하셨을 거라고 생각하는데, 맞을까요? 그래서 이게 제가 만든 오른손 좌표계 X, Y, 그리고 Z가 이쪽 아래로 내려가는 방식이에요, 맞죠?06:04

자, 이제 저는 벡터 P를 다시 고려해 보고 싶습니다.06:11

그리고 저는 이렇게 그림을 그린 다음, 곧 여기서 분해해 보겠습니다.06:16

자, 여기에 벡터가 있어요. 이 벡터를 P라고 부를게요. 표시를 할 수 있도록 여기에 막대를 하나 놓을게요.06:20

그리고 여기를 조금 이해할 수 있게 만들 수 있는지 한번 봅시다. 그래서 제가06:27

이 벡터를 여기 XY 평면 위로 투영할 거예요. 그래야 할 것 같아요.06:32

이런 것들이 일부 구성 요소처럼 있고 이런 것들처럼 있어서, 이게 뭘지 생각해 보실 수 있을 것 같아요.06:40

만약 이 빨간 벡터를 이 평면으로 투영하고 싶으시다면, 그것은06:46

이런 종류의 흔적이 좀 있잖아요, 보이시나요? 그게 어떤 것인지요.06:49

여기서 나온 것처럼 이어서, 마지막으로 Z 성분을 투영해 봅시다.06:54

이 z축 위로 움직여서 제가 그래프로 봤을 때 이게 평행한지 볼게요.06:59

그러니까 어, 저기 그러니까 아니에요. 죄송합니다. 여기 이 선이랑 평행해지잖아요, 이거.07:03

이것이 이렇게 되어서 다시 돌아갈 거예요07:08

네, 알겠습니다. 그럼 다른 색깔로 하나 골라볼게요.07:11

제가 여기에서 보여드리고 싶은 것이라, 이게 조금 헷갈리실 수 있지만 다시 한번 생각해 보세요.07:17

여기에 이 벡터 p가 있어요. 세 공간의 벡터일 뿐이고, 제가 좌표계를 붙였습니다.07:21

그래서 제가 이걸 이 모든 축들, 그러니까 x축이랑 y축에 투영하고 싶었던 거예요.07:27

그리고 여기에서 그리기가 좋으니까, 이걸 녹색으로 그려보도록 합시다. 혹시 벡터처럼요, 이걸요.07:34

이 벡터를 a라고 부르고, 그리고 y축을 따라 가는 벡터 b를 그리겠습니다.07:40

이런 식으로 이걸 벡터 b라고 하고, 마지막으로 z축을 따라가는 벡터가 있습니다.07:46

그리고 이것을 벡터 C라고 부르겠습니다. 좋습니다. 이것이 그에 따른 그림입니다.07:51

지금 저희가 할 수 있기 때문에 이렇게 하는 게 제가 원하는 이유가 있습니다.07:59

여기서 벡터 역학적인 관점에서 볼 때, 이 벡터 P가08:04

제가 관심 있는 부분은요, 벡터의 덧셈, 즉 A에 B에 B에 C를 더하는 것이에요.08:07

맞아요, 그러니까 저는 당신이 이것에 대해 반론을 제기하지 않으실 거라고 생각합니다. A에 더해 B, 그리고 C까지요. 그리고 주목해서08:12

현재는 여기에 올바른 위 첨자가 없어서 이 벡터를 이 좌표계로 표현하려고 실제로 노력하고 있는 것은 아닙니다.08:17

벡터 덧셈 관점에서 말씀드리자면, 단순히 A에 B에 C를 더하는 것일 뿐입니다.08:23

이것들을 끝에서부터 이어서 붙이면 벡터 P가 나오죠, 그렇죠?08:29

좋아요, 이제 이 물건이 조금 보기 흉해지겠어요.08:33

그럼 제가 말씀드리는데, X, Y 시점만 이용해서 그려보면 어떨까요?08:37

그냥 X에 그리도록 해요. 그러니 다시 그리도록 합시다.08:43

엑스 햇 알, 와이 햇 알 평면입니다.08:48

다시 한번, 이 다이어그램을 여기에 복사하면, 여기서는 이런 결과가 나올 것입니다. 여기를 그려보겠습니다.08:53

그래서 제가 X를 얻었어요. 아, 이거는 그냥 똑바로 세로로 하고 싶으니까, 여기서는 부주의하지 않도록 노력해 볼게요.08:59

자, 여기 제 X hat R이 있고, 그리고 아마도 이걸 조금 더 크게 만들게요. 왜냐하면09:04

사실 여기 공간을 좀 차지할 거고, 잠시 후에 중요할 거거든요. 자, 여기 Y 햇 R입니다.09:11

좋습니다. 그럼 벡터 P를 그려볼게요. 이것은09:17

이런 식으로 조금 비슷하게요. 자, 여기서 P가 있을 겁니다.09:21

제 등 쪽, 제 빨간 벡터 P가 여기 있고, 지금 당장 제가 좀 그리고 싶다면 아마 여기인 것 같아요.09:27

여기 이 점선들이요, 이렇게 점선이 나타나는 것이요.09:31

이렇게 이 대시 라인이 있고, 그리고 제가 벡터 a를 그릴 수 있어요.09:35

기본적으로 이 벡터를 이 x축에 투영한 것인데요. 그러니까 여기 제 벡터가 있어요. 자, 오케이.09:41

여기에 벡터 a가 있고, 그리고 여기에 아래에 벡터 b가 있습니다.09:49

벡터 c가 페이지 안쪽으로 들어가는 거죠? 여기 말씀이시죠. 음, 제가 생각하기엔09:58

네, C가 이런 식이고요. 아마 저희가 Z 얍 r이 가는 것도 적어야 할 것 같습니다.10:04

이 페이지에 여기에 넣을게요, 알겠죠? 좋아요.10:11

네, 음, 네. 그러니까 다시 말씀드리자면, 여기는 같은 사진이지만요.10:18

여기 xy 평면에서 그냥 바라보고 있잖아요. 자, 여러분은 이 벡터 p가 기울어져 있다고 생각하실 수 있어요.10:22

여기에 보드에 가지고 있는 것들을 말씀드리고 있는데요, z 꺾인 방향으로 어느 정도 구성 요소가 있어요. 그래서요, (그것이) 가고 있네요.10:28

여기까지는 괜찮지만, 이건 2차원 평면으로는 그릴 수가 없어서, 이제 제가 하려고 하는 것은10:32

여기 이 거리를 가지고, 이 벡터 a의 길이 말입니다10:37

x 삿갓 r 방향을 따라, 이것을 알파라고 부르겠습니다.10:43

제가 이렇게 그려서 이 거리를 보여드리려고 하는 거예요, 그렇죠?10:47

이걸 알파 유닛이라고 부르죠? 이제 이걸 부르겠습니다10:52

여기 벡터 b의 길이가 베타 단위인 건가요?10:56

그러니까 이 길이 있잖아요, 이렇게 그려볼게요.11:00

파란색 여기, 이게 베타 유닛이 될 거예요. 괜찮고요. 그리고 비슷한 방식으로11:05

C 벡터의 길이가요, 제가 여기서는 실제로 그릴 수는 없을 것 같습니다만, 이걸 이렇게 부르겠습니다.11:12

thing 감마 단위들로 알파, 베타, 감마가 여기 있으니, 이것이 수치적인11:16

여기에 있는 값들이 이 벡터들의 길이인데요, 그래서 제가 하려는 이유는11:21

이제 우리가 할 수 있는 것은 P를 FR로 표현하는 것을 고려해 보는 것입니다.11:25

다시 말해, 여기서 제가 하고 싶은 이야기는 'P in R'이라고 말씀드리고 싶은 거예요.11:32

저희는 여기가 A에 B에 C가 더해진 것이라고 말씀드렸습니다.11:37

이러한 것들을 수치적으로 추가하려면, 모두 같은 좌표계에 있어야 해요.11:42

위첨자를 넣어야 해요11:46

이 모든 항목에 R 값이 있습니다. 이 모든 것을 합산해서 수치적 값들을 만들고 싶다면11:47

여기 모두가 정확히 같은 좌표계에 있어야 할 것 같아요, 그렇죠?11:53

자, 그럼 이것에 대해 생각해 볼까요? 음, 여기 있는 게 뭐죠? 그럼 한번 살펴봅시다.11:56

각 벡터는 각 성분을 하나씩 가지며, R 안의 벡터 a가 여기에 있습니다. 이것이 벡터 a입니다.12:01

R 프레임으로 표현된 것이고, 여기서 우리가 하려는 것은 세 개가 필요하다는 것입니다.12:07

여기에 숫자들이 있습니다. 첫 번째 숫자는 제가 이 벡터를 A로 기술하고 싶은지 알려줍니다.12:11

X 모자 방향으로 얼마나 더 가야 하고, X 모자 방향으로는 얼마나 더 가야 하나요?12:15

방향 같은 것과 그리고 얼마나 떨어져 있는지요? 죄송해요, 죄송해요. 아마 괜찮을 거예요. 제가 이거 적을게요.12:21

아래를 보시면 이것이 저희 컴포넌트 X 갓이고, 이것이 저희 컴포넌트 Y 갓입니다.12:27

그리고 이것이 바로 저희 구성 요소의 Z 값입니다. 따라서 이 첫 번째 숫자 값은12:33

제가 어느 방향으로 얼마나 걷는지, 저희 방향은요? 저희가 방금 말씀드렸는데요.12:39

여기서 이 방향으로 알파 유닛을 이동시키시면 되고, 얼마나 멀리 가실 수 있나요?12:44

우리에게는 방향이 좋고 운이 좋아요. 여기도 0이고, 여기도 0이죠?12:49

좋아요, 그러면 이 벡터 a를 프레임에서 이렇게 표현하시면 됩니다.12:55

프랑스13:02

컴포넌트 오른쪽 부분도 동일하게 브이 브이, 맞죠? 이거는13:02

벡터 b가 여기 표현 프레임 군대와 정확히 같은 것입니다. x축으로 얼마나 걸어 가나요?13:10

y 방향으로 얼마나 걸으셔도, z 방향으로 얼마나 걸으셔도, 이 그림의 기하학적 구조만 봐도 여러분이 동의하실 거라고 생각합니다. 이건 0, 베타, 0이죠.13:14

마찬가지로 R에 대한 C는 0, 0, 감마가 될 것입니다.13:21

그러면 이 왼쪽 편에 그냥 이것을 넣어 드릴게요.13:25

저는 기본적으로 알파, 0, 0에다가 0, 베타, 0을 더하고요.13:31

결국 저희가 얻게 되는 것은 알파, 베타, 감마입니다.13:38

이것이 당신이 얻는 방법이거나, 또는 얻게 되는 방법입니다13:44

여기 프레임 FR을 사용하여 이 빨간 벡터 P를 수치적으로 설명하고 싶다고 가정할 때, 어떻게 설명하시겠어요?13:51

알파 유닛을 X 얍 R로 가신다고 말씀하시네요.13:57

그다음에는 Y 햇 R로 베타 유닛을 이동하신 후에 감마를 이동합니다.14:00

Z 삿(hat) R의 단위로, 이 단위는 벡터의 시작점에서 벡터의 끝점까지의 거리를 알려줍니다.14:05

네, 알겠습니다. 그거 정말 좋네요. 그럼 이걸 상자에 담아 여기에 보관해 둘게요. 어쩌면 이러는 게 좋을 것 같아요.14:09

어쩌면 우리가 여기서 해야 할 일은 이걸 여기로 옮기는 것일지도 모릅니다.14:15

나중에 여기에서 실제로 조금 유용할 테니까 우리 이걸 적어 놓을까요14:19

결과가 여기 있으면, P가 R일 때 알파, 베타, 감마가 되도록 할 수 있어요.14:22

일단 여기에 저장하고, 그럼 여기 남은 건 지우도록 하죠. 아니, 남은 것 전부를14:28

칠판에 있는 이 계산들을 여기에서 당장 지우고 싶어요. 제가 하고 싶은 건 말이에요.14:33

지금은 여기 두 번째 프레임을 고려해 보겠습니다. 네, 그래서 이 대신 이 프레임을요.14:36

자, 이제 다음 화면을 살펴봅시다.14:44

이 프레임을 F1이라고 부르면 어떨까요14:52

자, 그럼 프레임 F1은 다음을 통해 얻어졌습니다.14:55

오른쪽으로 FR을 회전시키세요15:02

각도를 측정했습니다15:10

Z 얜의 R에 대한 Psi인데, 이것 또한 Z가 될 것입니다.15:13

첫 번째 축입니다.15:20

여기서 이것이 의미하는 바는 제가 이 그림, 검은 선들을 가지고 싶다는 거예요.15:24

여기가 제가 기준 삼는 틀이고, 저는 이 축을 중심으로 Z축에 대해 회전시킬 거예요.15:31

오른손으로 하는 방식이라면, 판을 통과하는 것이죠. 그래서 이 전체 부분이 여기서 기울어지게 될까요?15:36

제가 말로 설명하기보다는 그림으로 그려 보여 드릴게요. 여기 이걸 한번 그려 볼게요.15:42

자, 그러면 이 x축이 각도에 따라 회전하게 되는 거예요.15:47

이것이 양의 파이시(psi)인 거죠? 그리고 이것이 이제 x 햇 1이 되는 거죠?15:53

여기가 프레임 1의 x축이 맞나요?15:58

마찬가지로, 여기 y축도 같은 각도로 회전할 건가요?16:01

여기 아래에는 긍정적인 사이(Psi)가 있습니다, 맞나요?16:06

그리고 이제 이것이 Y 햇 1이 되는 거죠?16:11

그리고 z 꺾쇠는 같은 상태로 유지되는 거죠?16:16

이 두 가지가 여기서는 흔한데요. 저희가 여기 Z축을 중심으로 회전만 했잖아요, 그렇죠?16:19

자, 이제 여기에 F1이라는 새로운 프레임이 생겼는데요, 그렇죠?16:25

그리고 우리도 똑같이 질문할 수 있는 게, 이 벡터 P가 변하지 않았는지, 맞죠?16:29

이 벡터는 정확하게 같은데, 이번에는 프레임 R이 아니라 프레임 1에서 이것을 표현하고 싶어요.16:35

여기서 제가 하고 싶은 말씀은 P를 표현하고 싶다는 것입니다.16:41

F1에 넣어 주세요.16:47

즉, 저는 이 벡터 P가 필요합니다. 이 P는 아까 우리가 P가 A 더하기 B 더하기 C라고 했었죠.16:50

하지만 지금은 이것을 여기 프레임 1에서 표현하고 싶어요.16:57

따라서, 왼쪽 항의 값이 오른쪽 항의 값과 수치적으로 같게 되려면,17:00

이 나머지 부품들 모두에 각주를 달아야 하는 거죠?17:05

제가 원하는 것은 이 모든 것을 여기 하나의 관점에서 설명하는 것이니까요, 그렇죠?17:08

자, 그럼 이제 질문은, 아까 우리가 했던 것처럼, 뭐가 한 개인지가 되겠죠?17:14

그래서 물음표, 물음표, 물음표네요. 여기에 세 개의 숫자를 넣어야 해요.17:21

다시 말하자면, 이 벡터의 첫 번째 숫자는 무엇을 의미하는 건가요?17:26

혹시 x-hat 1축을 따라 얼마나 걸어가야 하는 구성 요소라는 말씀이신가요?17:30

두 번째 구성 요소는 y-hat 1의 축을 따라 얼마나 걸어야 하는가입니다.17:37

그리고 세 번째 구성 요소는 z-hat 1의 축을 따라 얼마나 걸어가야 하는가입니다17:42

여기 벡터의 밑변에서 벡터의 끝까지 가려면요, 그렇죠?17:46

그러면 여기에 계산해야 할 세 가지 숫자가 필요한 거죠? 네, 만약 이것에 대해 충분히 생각해보신다면, 한번 생각해 봅시다.17:50

여기 A 벡터는 어디에 있나요?17:58

여기 이 초록색 선이 맞죠? 그래서 제가 원점으로부터 어떻게 하는지 스스로에게 물어봐야겠어요.18:00

여기 있는 초록색 선의 밑 부분에서 시작해서 여기 꼭짓점까지 가실 수 있습니다만18:06

제가 이 한 프레임 안에 설명할게요. 그래야 실제로 그리실 수 있을 거예요.18:10

이 사진에는 직각삼각형이 몇 개 있네요. 그래서 이걸로 해볼까요?18:16

여기에 파란색이 있어서요, 제가 이런 식으로 직각을 만들어야 할 것 같아요. 그래서 이18:19

여기에 직각이 맞죠?18:25

그리고 여기 아래쪽에서도 비슷한 방식으로 직각이 하나 더 있네요.18:27

그러니까 이것을 충분히 살펴보시면, 그렇죠? 자, 다시 설명드리려고 하는데요.18:35

A에만 집중해 주세요. 여기 위에 있는 이 팁까지 도달하고 싶을 뿐이에요, 알겠죠?18:39

그래서 보시다시피, 여기 직각삼각형의 빗변이 있는데, 이 빗변이 알파인 경우예요, 맞으시죠?18:43

그래서 저는 모든 분들이18:49

이 거리는 알파 코사인 파이잖아요, 맞죠?18:50

그리고 이 거리는 알파 사인 파이가 되죠? 모두 동의하시죠?18:59

그러면 저희가 여기서 질문드렸던, 이걸 바탕으로 어떻게 가야 하느냐는 것에 대해서요19:07

A 벡터를 따라 A 벡터의 끝으로 가는 벡터인데, 우선 몇 단위만큼 걸어가야 하는지 여쭤봐도 될까요?19:14

여기 x-hat 한 축이 있죠. 자, 이 것을 보시면, 여기는 분명히 알파 코사인으로 가야 합니다.19:19

그 방향의 파이 단위가요. 제가 이걸 조금 더 크게 만들어서 좀 갖도록 하겠습니다.19:27

공간이 더 필요해서 죄송합니다. 이것들 모두 그렇게 진행할게요.19:32

네, 좋아요. 첫 번째 건요, 제가 알파 코사인 파이 단위를 걷겠습니다.19:39

엑스 모자 방향으로 저를 여기로 이끄는 것, 이제 제가 조금 주의해야 할 유일한 것이 있어요.19:44

요 챙 모자가 한 방향으로 얼마나 걸어야 하는 건가요?19:49

여기서 이 거리를 걸었어요, 그게19:52

크기이지만, 제가 실제로 걷고 있다는 점에 유의하셔야 합니다. y 삿바니의 반대 방향으로 가셔야 해요.19:55

여기요. 그래서 이게 실제로 마이너스 알파 사인 프사이입니다.20:00

다시 한번, 이 마이너스 부호에 정말 유심히 주의를 기울여 주세요.20:04

로테이션 매트릭스에서 사람들이 실수를 가장 많이 하는 부분은 바로 이 부호와 함께 나타나는 빼기 기호라고 제가 보장합니다.20:08

그리고 이게 바로 마이너스 부호가 나오는 지점이에요, 그렇죠? 제가 여기에 있고, 이제 여기서 양의 y 방향으로 걷는 대신에,20:15

여기 끝 지점으로 가려면 y축의 음의 방향으로 걸어가야 하죠? 그리고 z축으로는 얼마나 가야 하나요?20:21

음, 이 부품은 0이네요, 맞죠? 네, 좋아요.20:27

그래서 A1 부분은 이대로 잘 마무리했다고 생각합니다. 그럼 B1 부분도 지금 이렇게 진행하면 될까요?20:32

그래서 다시, B1은 우리에게, 여기에 오려면 얼마나 걸어와야 하냐고 묻습니다.20:37

이제 벡터 B에 대해서 말씀드리겠습니다. 여기 초록색 선이요, 맞죠?20:43

이 가로 초록색 선에서 X 방향으로 얼마나 걸어야 할지 알아내야 해요. 얼마나20:46

Y1 방향으로 걸어가 보겠습니다. 자, 그럼, 다시 이 삼각형을 한번 보겠습니다.20:51

다시 말해서, 여기는 직각삼각형입니다. 이 직각삼각형은 이제 여기 베타를 빗변으로 가지고 있죠?20:54

그러니까, 이 아래의 거리가 베타 코사인 파이라는 것에는 모두가 동의할 거라고 생각해요, 그렇죠?20:59

그리고 이 거리는 베타 사인 파이 맞죠?21:05

자, 여기서 해 볼게요. X1 방향으로 얼마나 가야 할까요?21:10

이 팁에 어떻게 오셨나요? 글쎄요, 제가 이쪽 방향으로 가 볼게요. 그렇죠? 그럼 여기부터 여기서까지요.21:16

맞죠? 그러면 그 방향으로 베타 사인 파이로 가나요?21:23

그리고 여기 y 방향으로 얼마나 가나요, 이 y1은요? 그러니까 이 거리가 맞죠?21:29

베타 코사인 파이로 가나요, 그렇죠?21:34

그리고 여기서는 제가 0으로 만들었어요. 완벽하네요. 그리고 마지막으로, C 구성 요소는 사실 꽤 쉬운 것 같아요.21:39

C 요소는 변하지 않았기 때문에 C1도 이렇죠?21:45

여기 Z축은 변하지 않았네요. 그러니까 C는 사실 꽤 간단하죠?21:49

이건 그냥 0, 0, 그리고 감마가 될 거예요.21:53

좋습니다. 자, 그럼 오른쪽에 이 세 가지 표현만 넣도록 하죠.21:56

여기에 이것을 적으시면, 음, 제가 한번 볼게요, 알파 코사인 파이가 됩니다.22:03

플러스 베타 사인 프사이.22:12

그리고 나서 빼기 알파 사인 파이 더하기 베타 코사인 파이입니다.22:16

그리고 여기에서 감마 값을 얻게 되죠?22:23

좋아요, 아주 좋아요. 있잖아요, 알파, 베타, 그리고 감마를 꺼내 볼까요.22:28

다시 말하자면, 제가 할 수 있는 것은 이것 전체를 이런 모양의 매트릭스 형태로 다시 쓰는 거예요.22:32

여기서 알파, 베타, 감마를 끌어올릴 예정입니다.22:39

여기서, 그리고 지금 이 매트릭스가 어떻게 생겼는지 보면, 여기 3x3짜리예요. 제가 뭘 얻었나요?22:43

코사인과 파이 세타를 얻었어요.22:48

그리고는 사인, 프사이, 그리고 0을 얻었습니다.22:51

그리고 나서 마이너스 사인, 파이, 코사인, 파이, 제로, 그리고 나서 에이22:55

0, 0, 1이 여기 있네요. 맞죠? 그리고 다시 말씀드리지만, 왼쪽 항은 무엇인가요?23:02

왼쪽 편이 여기에 있는 이 부분이 맞나요? 이 부분이 여기 한 좌표계에서 표현된 벡터 P인가요?23:06

자, 여기 이 벡터는 알파, 베타, 감마가 여기 있죠?23:11

음, 이게 아까 포장해서 여기에 넣어 둔 것들이죠?23:16

만약 이 알파, 베타, 감마를 보시면, 이것이 R 공간에 표현된 벡터 P가 되는 거죠, 그렇죠?23:19

그러니까 이 전체 상황, 이 벡터가 R에 표현된 P인 거죠.23:24

이 행렬, 이 3x3 행렬은 회전 행렬이라고 불립니다.23:30

이것이 행렬이기 때문에, 이것을 오래 살펴본다면 해석이 될까요?23:38

이 행렬은 R 프레임으로 표현된 벡터를 받아서 뭔가를 하도록 해줄 것입니다23:41

그리고 기본적으로 프레임 1에 표현된 벡터를 출력하게 됩니다.23:48

그럼 여기에 한번 적어 놓을게요. 이 사진은 이제 끝난 것 같으니까 이거는 치워도 될 것 같아요.23:52

결국 저희가 얻게 되는 것은 여기서 벡터 P를 프레임 1로 표현해서 쓸 수 있다는 것입니다.23:58

이것은 3x3 회전 행렬이 될 것이며, 이것은 많은 경우에 C로 표기됩니다.24:06

이 C는 여기 있는 psi의 함수이며, 아래에 몇 개의 첨자가 있을 거예요. 그러니 잠깐만 시간을 주세요.24:13

그리고 이 값에 여기 R 프레임으로 표현된 벡터 P가 곱해지는 거죠?24:19

자, 이게 회전 행렬인데요, 프레임 R에서 프레임 1로 이동하는 것을 볼 수 있습니다.24:25

여기서 저희가 사용하게 될 표기법은 이런 R 같은 첨자(subscript)가 있는 형태입니다. 그렇죠?24:31

R에 대한 C1은 프레임 R에 표현된 파이 각도에 따른 함수입니다.24:38

그렇다면 이 경우에 여기의 C1RPsi는 회전 행렬입니다.24:45

이것은 때때로 방향 코사인 행렬이라고, 방향 코사인 코사인 행렬이라고 불리기도 합니다.24:54

아니면 DCM일 수 있습니다.25:02

하지만 이 회전 행렬은 FR에서 프레임으로 갑니다25:05

음, 다시 한번, 여기서 좀 조심해야 할 것 같아요.25:12

다시 한번 말씀드리자면, 사람들이 여기에서 헷갈릴 가능성이 높은 두 번째 장소는 이 인덱스들을 뒤죽박죽 섞는 것인데, 그들은25:16

이 회전 행렬을 추적하지 못할 것 같아요. 이것이 프레임 하나에서 프레임 R로 가는 건가요?25:23

여기서 프레임 R에서 프레임 원으로 가나요, 아니면 반대로 가나요? 맞아요.25:28

자, 우리가 이걸 명확히 하기 위해 말씀드리자면, 여기 보시면 회전 행렬의 방향 코사인 행렬이 항상 이렇게 곱해지잖아요25:31

여기에 있는 벡터의 왼쪽에요. 그리고 이제 우리가 여기에 사용하는 표기법이 우리를 도와줄 거예요. 왜냐하면 우리는 여기서 다음과 같은 것을 발견했기 때문이에요.25:39

우리가 이것을 명확하게 유지할 방법은 이 첨자 부분입니다.25:46

오른쪽 쪽에 있는 이 수식에 맞춰서, 그러니까 이쪽에 더 가깝게 와야 할 것 같아요.25:49

그래서, 이 하위/슈퍼스크립트들은25:54

오른쪽에 있는 것이 말씀해 줄 거예요26:01

이 회전 행렬이 여기에 곱해지기를 기대하고 있다는 말씀이시죠?26:05

프레임의 오른쪽 어딘가에 있는 것, 이 오른쪽이 이 오른쪽과 일치하고 그리고26:09

결과는 같은 벡터의 일부를 뱉어낼 거지만, 지금은 그것이 표현된 방식이 달라요26:14

여기 프레임에서 이쪽 아니면 저쪽 프레임, 그러니까 이 두 인덱스나 이 부분 말이에요.26:19

그리고 위첨자는 오른쪽과 일치해야 합니다26:24

자, 그럼 이게 저희 회전 행렬인데요. 그리고 아까 말씀드렸지만, 이걸 여기 적어두는 게 좋겠네요.26:34

이 회전 행렬은 다시요, 3x3이네요, 그렇죠? 여기에서26:39

파이의 코사인, 사인이, 파이, 0, 그리고 마이너스 사인처럼 보이네요.26:46

파이, 코사인, 파이, 제로, 그리고 나서26:54

0, 0, 1 여기요. 네, 좋아요.26:57

이게 바로 저희 회전 행렬입니다. 정말 많은 특성들을 가지고 있어서요, 굉장히, 굉장히 유용합니다.27:02

이러한 흥미로운 특성들 몇 가지에 대해 이야기해 봅시다.27:10

음, 일단은, 우리가 모두, 제가 그 사진을 지우고 싶었나요?27:14

네, 이 사진은 여기서 지울 수 있을 것 같아요. 다들 필기하신 노트를 가지고 계시거나, 아니면 여기서 비디오를 되감아서 이 다이어그램을 다시 보실 수 있을 거예요.27:18

그래서, 별거 아닙니다. 좋습니다. 하지만 여기 흥미로운 속성이 몇 가지 있습니다.27:25

따라서 회전 행렬은 직교합니다.27:31

그러니까, 이게 기본적으로 무슨 의미인지 기억하신다면, 여기에 있는 모든 행과 열을 말이에요,27:40

여기서들은 선형적으로 독립일 뿐만 아니라, 모든 행과 열이 서로 다른 모든 행과 열에 수직입니다.27:43

여기서 직교 행렬에 특별한 점은 이것의 한 가지 결과입니다.27:50

직교 행렬의 경우에는 사실 역행렬이 전치 행렬과 같습니다.27:55

그래서 이것이 회전 행렬이고 직교하므로28:01

역행렬은 단순히 전치 행렬과 같습니다.28:06

이게 정말 정말 도움이 되네요.28:16

예를 들어 여기에서 말이죠, 저희가 이 C1과 R에 대한 파이(Psi)라는 항목이 있었거든요.28:18

여기서 역행렬을 구하고 싶다고 해도, 사실 완전한 3x3 역행렬을 구할 필요는 없어요.28:24

그리고 이 모든 계산 능력을 투입해서 행렬식 계산을 하고 이런 모든 작업을 처리하는 것이죠.28:32

대신, 이 행렬을 가져와서 여기서 행과 열만 바꿔 주시면 되죠?28:36

이걸 충분히 생각해 보면, 여기 이 표기법으로 가져오겠습니다.28:43

지금 이것이 무엇을 하고 있는지 보시면요?28:47

그러니까 여기 Psi에 대한 회전 행렬 C1R을 곱한 다음 PR을 곱하는 거죠?28:49

양변에 여기서 왼쪽 역행렬을 곱하고 싶다면, 맞나요?28:55

그러면 다시 말해, 저는 이 것을 C1R Psi 역 P1은 PR과 같도록 바꿀 수 있습니다.29:00

제가 동의하는 경우라면, 그것은 정확히 똑같은 것입니다. 그리고 지금 저희가 이렇게 말했으니, 좋습니다. 여기는 정말 좋네요.29:08

이 역변환은 전치와 같은 것이기 때문에 이걸 그냥 바꿔도 돼요.29:12

혹시 지금 이것이 무엇을 하고 있는지에 대해 생각해 본다면, 전치(transpose)를 적용할 수 있을 것입니다.29:15

이 행렬이요, 이거 전부 다. 제가 원을 그려야 할까요?29:21

이 전체가요, 맞죠? 이 전체 부분이요. C 1 R 측면 전치가 여기로 오니까 이제요29:25

다른 회전 행렬을 C라고 부르겠습니다. 이 C가 벡터를29:30

프레임 1에서 표현된 것을 이리 와서 프레임 R에서 표현된 벡터로 만드는 거죠, 그렇죠?29:35

그러니까, 이것은 C1이거나 아니면 R/1 같은 거라는 말씀이시죠?29:40

타임즈 P1이 PR과 같아요, 맞죠?29:49

그러면, 이 인덱스가 이 인덱스와 일치하고, 그리고 나면 이 인덱스가 여기에 결과가 무엇인지 알려주는 거죠, 그렇죠?29:53

와, 여기 정말 정말 멋지네요.30:00

그래서, 저희는 기본적으로 회전 행렬의 전치 또는 역행렬이요,30:02

이건 기본적으로 여기서 인덱스의 순서를 뒤집는 것과 같은 거예요.30:07

그러니까 이걸 사이의 CR1로 쓰시면 돼요, 맞죠?30:11

여기서 회전 행렬의 좋은 성질 하나를 말씀드리겠습니다.30:16

우선적으로, 결코 전체 역함수를 계산하려 하지 마세요.30:20

계산 능력을 낭비하고 계세요. 전치만 하세요.30:24

그리고 다시 말해서, 여기서 물리적으로 하고 있는 것은 단순히 회전 행렬의 인덱스를 뒤집는 것일 뿐입니다.30:27

물리적으로 말씀드리자면, 모든 것이 프레임으로 돌아가게 해주는 또 다른 회전 행렬을 얻게 됩니다.30:32

원래 프레임 말씀이시죠? 아니면 반대일까요? 여러분들이 알아서 하시면 될 것 같습니다. 네. 여기서 무슨 일이 벌어지고 있는지 명확하게 보이시죠.30:40

맞아요. 여기 정말 멋지네요. 네. 좋아요. 이 회전 행렬에 대해 또 어떤 점들이 흥미로운가요?30:44

음, 기억나시죠? 여러분, 행렬의 고유값이 여기서 뭘 했었는지 기억하시나요?30:51

네. 그럼 고유값에 대해서 한번 생각해 볼까요?30:56

이 C요. 봅시다. 우리의 관점을 사용해 봐요.31:03

여기에 있는 psi의 C 원이요. 그렇죠. 우리가 만든 이 회전 행렬 말이에요. 혹시 기억하시는지, 고유값들이요.31:06

어떤 매트릭스가 할 수 있는 최대 증폭 또는 감쇠에 대한 아이디어를 주었습니다.31:14

만약 Y가 AX와 같다면, A의 고유값들이 무엇을 알려줄지 말이에요31:20

이 행렬 A가 벡터 X를 얼마나 증폭하거나 늘리거나 줄일 수 있을까요?31:27

여기서 벡터 Y를 얻으려면요?31:34

자, 만약 이 회전 행렬에 대해 A가 회전 행렬이라고 생각한다면 어떨까요?31:35

물리적으로 볼 때, 이 것은 벡터를 전혀 늘리거나 줄여서는 안 되는 것 아닌가요?31:42

저희가 한 것은 결국 우리가 같은 벡터를 표현하는 관점을 바꾸는 것일 뿐이죠, 맞나요?31:47

따라서, 이것이 진실이기를 바라고, 이 회전의 고윳값들이31:53

행렬이든, 아니면 사실 모든 회전 행렬이든, 그렇죠, 그들의 크기가 정확히 1이어야 합니다, 그렇죠?32:00

어떤 벡터를 넣으시든지 간에 기본적으로 이렇게 말씀드리게 될 것이기 때문에32:06

그리고 이 회전 행렬을 사용하여 변환하면 벡터가 늘어나거나 줄어들지 않을까요?32:10

혹시 여기 Mathematica로 가서 실제로 이 작업을 하고 싶으시다면요, 그렇죠?32:17

고유값에 대해 말씀하시면 파이의 C1R을 넘기면 되는 거죠?32:22

이 3x3 행렬을 그냥 여기에 넣고 무슨 결과가 나오는지 한번 볼까요?32:29

자, 그럼 이걸 소리글자로 부르죠. 만약에 이 수학을 처리하게 된다면, 이 것의 고윳값이 어떤지 말할 거예요.32:33

람다 원은 여기의 하나이고 람다 투는 여기의 코사인 파이 플러스입니다32:41

사인 파이에 곱하기 아이, 허수 단위요. 그리고 여기 람다 세개, 왜냐하면 3x3이니까요.32:48

여기 세 개의 고윳값이 있어야 하는 거 맞죠? 그러니까 이것은 코사인 세타와 사인을 더한 거라거나, 아니, 죄송해요.32:54

죄송해요, 이건 마이너스여야 했는데. 순서는 상관없어요. 여기서 하나는 마이너스고, 다른 하나는 플러스죠?33:01

여기서 육안으로 보시면, 네, 규모 1입니다.33:07

이것은, 네, 크기 1이죠? 왜냐하면 여기 실 부분이 있고, 여기 허수 부분이 있기 때문이에요.33:13

부분이요. 제가 이걸 제곱하고, 여기에 이 제곱근 것의 제곱을 더하면, 1이 되나요?33:16

코사인 제곱에 사인을 제곱해서 더하면 1이 됩니다. 아래 부분도 같은 이치예요.33:21

따라서 모든 크기들이 1입니다.33:23

아주 훌륭해서 저희가 판단하기에 별 문제가 없네요.33:29

여기 정말 상쾌한 것 같아요, 그렇죠?33:33

자, 좋습니다. 이걸 어떻게 적용하는지 예시를 하나 봐 볼까요?33:36

그럼 여기를 봅시다. 네, 좋아요. 이걸 다 지워버려요. 이제는 이거들 아무것도 필요 없는 것 같아요.33:41

그리고 여기서는 예를 들어 생각해 보겠습니다.33:47

제가 항공우주 엔지니어라 항공기를 보는 것을 좋아해서, 자, 그럼33:52

비행기 날개 끝 같은 것을 묘사하려고 노력하는 것을 보세요.33:56

그러니까 그렇게 해서 이걸 한번 살펴보겠습니다. 여기 아주 간단한 예시가 있으니 괜찮으실까요? 자, 예를 들어서34:00

이 부분을 날개 끝 지점을 설명하는 것으로 부릅시다.34:07

좋아요. 여기서 저희가 비행기 그림을 그려볼게요.34:15

제가 그림을 너무 못 그려서, 여기서는 양해해 주셔야 할 것 같아요.34:18

여기 항공기 위에서 본 모습이 보이나요? 여기 날개 부분이고, 아마 여기는 조종석 같은 부분이겠죠.34:24

비행체의 무게중심이 여기쯤에 있다고 가정해 볼게요.34:28

이건 정말 형편없는 CG 사진이네요. 좀 더 좋게 만들어봐요.34:33

좋아요, 비행기의 CG가 있어요, 알겠죠?34:37

제가 여기서 할 수 있는 것은 이 항공기에 참조 프레임을 부착하는 것입니다.34:40

그래서 비행기에는 '바디 프레임'이라고 불리는 것이 붙어 있는 경우가 매우 흔합니다.34:47

따라서 여기의 원점은 항공기의 질량 중심에 있습니다. 그리고 x축은 여기 노즈에서 나옵니다.34:51

그럼 이걸 x-hat 바디라고 부를까요?34:56

y축은 여기 오른쪽 날개 끝부분에서 나오거나 오른쪽 날개 끝부분에 가깝습니다.34:58

Y-모양의 본체가 여기에 있어요. 아시다시피, 날개가 이렇게 후퇴각을 이루면, 날개 끝 부분을 정확하게 맞히지 못한다는 것을 알 수 있습니다.35:05

하지만 대략적인 개념은 파악되실 거예요. 그리고 Z축이 이것으로 오른손 좌표계를 만들어 줍니다.35:10

그럼 이 경우엔 바닥을 통과하게 되는 거죠? 그럼 Z-패드 본체가 바닥에 들어가는 거죠? 그런 식인가요? 네.35:15

이것이 바디 프레임이네요. 이제 ~에 대해 생각해 봅시다.35:23

여기서 우리가 하고 싶을 수 있는 것은, 만약 제가 오른쪽 날개 끝의 위치를 설명하고 싶다면 어떨까요?35:28

여기에, 그러니까 음... 아니면 어쩌면 제가 여기에 한 가지만 그려보겠습니다. 그러니까, 정확하지 않을 수도 있고요.35:34

제대로 된 팁이요. 여기 날개에 있는 이 지점을 한번 보세요. 그래서 다시 이걸 그려낼 수 있겠습니다.35:41

빨간색 벡터가 여기 있고, 이것이 좀 이런 모양을 하고 있으며, 안으로 또는 밖으로 들어가는 어떤 구성 요소가 있을 것 같습니다.35:46

비행기가 아마 디하이드를 가지고 있거나 혹은 안디하이드를 가지고 있기 때문에 오른쪽 보드입니다.35:51

날개가 아마도 이 부품 쪽으로 위나 아래로 기울어져 있을 거예요.35:56

그럼 이 벡터를 'R 윙'이라고 부르겠습니다.36:01

날개 끝 부분이요, 괜찮을까요?36:10

그래서 저희가 지금 여기서 할 수 있는 것은 제가 이 벡터를 설명해 드릴 수 있을까요?36:13

그래서 제가 여기 원점으로부터 어떻게 가는지 수치적으로 기록하고 싶어요.36:18

비행기의 무게 중심을 이 날개 끝까지 가져가려면요. 음, 여기 본체 좌표계로 표현하기가 정말 쉽네요, 그렇죠?36:23

제가 말씀드리고 싶은 것은, 지금 여기에 벡터가 하나 있는데, 이걸 바디 프레임으로 작성해서 표현하려면 이렇게 말씀드릴 수 있다는 거예요36:30

지금 여기, 저는 단지 세 개의 숫자가 필요해요.36:37

그럼 이 숫자 중에서, 첫 번째 숫자는 X축 방향으로 얼마나 걸어가서 끝점에 도달하는 건가요.36:39

두 번째 요소는 Y축 방향으로 얼마나 이동하는지이고, 세 번째 요소는 여기 바디 프레임의 Z축 방향으로 얼마나 이동하는지입니다.36:45

그래서 이런 경우에, 보시면, 네, x가 여기에서 0인 것을 보실 수도 있습니다. 왜냐하면 정확히 맞춰져 있기 때문이에요.36:53

이런 Y축에 맞춰서요. 그리고 Y축은 제가, 아무 숫자나 하나 만들어 볼게요.37:00

비행기의 반폭이 약 1.76미터 정도 되는데요.37:04

그리고 Z축은, 네, 아마 여기에 어떤 성분이 있을 거예요. 모르겠어요, 그냥 0.12로 해볼까요.37:11

따라서 이 경우에, 항공기가 약간의 하강 날개각(anhedral)을 가지고 있다고 말하는 것이니, 날개 끝 부분이 아래쪽으로 살짝 기울어져 있다는 식입니다.37:18

날개 끝까지 가시려면, 아시겠지만, 앞으로 아니면 페이지 속으로 0.12미터 정도 걸어가셔야 하잖아요?37:26

정말 좋네요, 완벽해요. 이게 날개 끝이 어느 위치에 있는지 설명하는데, 이건 이 본체 프레임에 대한 상대적인 것이 맞죠?37:33

자, 이제 여기에 두 번째 좌표계를 부착해 보겠습니다.37:39

그럼 북쪽이 이 방향이라고 해보겠습니다, 그렇죠?37:42

여기가 북쪽이고, 여기가 동쪽입니다.37:45

그리고 내려가면, 네, 아마 이 북동쪽 하향 좌표계의 세 번째 축은 그냥 페이지 안쪽 방향에 있는 것이죠?37:52

그럼 여기 아래가 이거네요, 그렇죠? 그럼 두 번째 프레임은 북동쪽 아래 프레임으로 만들게요.37:59

자, 이게 북동쪽 아래 프레임의 x축입니다.38:05

이것은 북동쪽 아래 프레임의 y축입니다.38:09

이것은 본체와 공유되는, 북동쪽 아래 프레임의 z축입니다.38:13

사실 두 개 모두 아래를 가리키고 있어서, 지금은 제가38:19

여기에 ~하고 싶은 것은, 예를 들어 이러한 것들이 이제 기울어져서 그리고 많은38:23

이 각도에서 옆쪽으로 어긋나게 되어 있어서, 이게 회전의 크기예요.38:27

몸통과 북동쪽 아래 프레임 사이, 여기 오른쪽에서부터요. 지난번부터38:33

그리고 우리가 방금 유도한 것, 우리가 유도했던 것, 알다시피요, 우리가 보여줬잖아요, 그 회전이38:38

여기서부터는 정말 조심해야 해요. 저희가 아까 한 것들, 아까 저희가 한 거요.38:46

각도에 따라 북동-아래 프레임에서 본체 프레임으로 회전 행렬을 얻었습니다.38:50

파이가 여기 있나요? 이것은 코사인 파이 사인 파이 제로로 주어졌어요.38:56

빼기 사인 파이 코사인 파이 제로 제로 제로39:03

자, 여기요. 그렇죠? 그러니까 이것이 우리가 아까 봤던 회전 행렬이에요. 이제 제가 하고 싶은 것은39:10

여기 날개 끝 부분을 설명하고 싶은데, 북쪽으로 몇 미터, 동쪽으로 몇 미터 그리고39:16

몇 미터 아래로 내려가야 하나요? 그래서 여기 북동쪽 하단 부분에 이걸 표현하고 싶어요.39:22

제가 여기서 원하는 것은 이 날개 끝의 위치 벡터예요, 그렇죠?39:26

근데 이걸 북동쪽 아래 프레임에 담고 싶은 거죠?39:32

네. 자, 여기서 몸체 좌표계로 표현된 날개 끝의 위치 벡터를 가지고 있습니다.39:36

이제 저희 지수들이 여기서 우리를 구해 줄 것 같아요, 그렇죠?39:43

저도 모르게 그냥 '괜찮아, 괜찮아. 이 행렬을 가져와서 여기에 끼워 넣을까?'라고 말하고 싶을 수도 있습니다.39:48

그러면 이게 북쪽을 기준으로 C, B가 동, 하, 그리고 파이, 오른쪽이 맞나요?39:52

그리고 그 두 가지를 곱하시면 돼요. 하지만 이 경우에는 정확히 틀린 답이 나오겠죠?39:57

여기서 이 첨자(subscript)가 이 위첨자(superscript)와 일치하지 않기 때문에 말씀이시죠?40:02

그래서 이것들이 일치하지 않네요. 그럼 분명 제가 여기서 이 인덱스들을 뒤집어야겠네요, 그렇죠?40:07

따라서, 우리가 아까 말씀드렸던 인덱스를 뒤집는 것이 사실 역을 취하는 것과 같은 성질을 이용할 수 있습니다.40:13

아니면 우리의 직교 행렬의 경우에는 단순히 전치만 하면 되는 거죠, 맞나요?40:19

그러니까, 모든 것이 잘 되게 하려면 정말로 제가 여기서 이 수술을 해야 하는 건가요?40:23

좋아요. 기본적으로 그걸 대입하면, 음, 재미로 숫자 예시를 하나 사용해 볼게요.40:28

여기서 파이(psi) 값을 45도로 사용해 볼게요. 그러니 파이가 여기 45도라고 가정해도 되겠지요?40:35

여기서 하실 일은 그냥 Mathematica로 가셔서 이 모든 것을 입력하시면 됩니다.40:41

결과적으로 여기에는 무엇이 남게 될까요? 저희는 북동쪽에 R 윙팁과 아래 프레임을 갖추게 되었습니다.40:44

자, 그럼 먼저 이것부터 해 보겠습니다. 이 부분을 가지고, 전치(transpose)를 취해야 하거든요.40:49

결과적으로 여기서는 코사인 45도 값을 갖는 행렬을 얻게 됩니다.40:54

이것을 어떻게 하고 싶으신가요? 45번, 파이 나누기 180은 어떠신가요?41:01

여기 이렇게 하는 게 좋겠죠? 제가 이거 조금 더 키워볼게요.41:05

자, 이게 그거예요. 이게, 3x3이요.41:11

여기서 제가 원하는 것이 이거 맞죠? 좋습니다. 코사인. 자, 그럼 이게 실제로 뭘까요?41:15

하지만 그것은 마이너스 사인 45 곱하기 파이 나누기 180, 그리고 0입니다.41:19

그래서 전치(transpose)를 취하고요. 좋아요. 그리고 사인(sine)에 45에 파이(pi)에 180을 곱하니까,41:25

그리고 45에 파이 나누기 180에 코사인 값이 나옵니다.41:32

그리고 나서 0, 0, 0, 1입니다.41:37

그러고 나서 이 것을 본체 프레임으로 표현된 이 벡터랑 곱하게 되죠?41:39

0.12를 0과 곱하면, 아, 네, 0.176과 0.12, 맞습니다.41:44

자, 그럼 다시 한번41:52

이 매트릭스는 본체에서 북동쪽 아래로의 c입니다.41:54

각도를 45도에 $\pi/180$ 곱합니다.42:01

네, 이게 바로 이 행렬이에요. 그래서 다시, 여기, 또 여기, 아마도 첫 번째로요.42:04

이 회전 행렬들 때문에 실수를 하시거나 방해를 받게 될 장소를 말씀하시는 건가요?42:09

이러한 전치들을 다루는 것이요, 이러한 인덱스들을 다루는 것이요, 마이너스가 어디에 있나요?42:13

여기 모든 곳에 마이너스 사인, s, i, n을 찍으세요. 그것은 좀 이상하네요.42:17

어떤 단어 같은 것이든 상관없이요. 제가 말씀드리는 건 '사인(sign)'이라는 표지판 같은 거예요.42:22

표지판의 'ㅅ' 기호에 관계없이, 무슨 말인지 이해하시죠? 그냥 정말 조심하세요.42:30

이 인덱스들을 활용하실 경우, 이 첨자 부분과 이 부분들을 말씀하시는 건가요?42:35

이러한 인덱스들이 일치하도록 하여 이 b가 이 벡터와 일치하는지 확인합니다.42:39

b로 표현되어 있고, n으로 표현된 벡터를 산출하죠. 저는 모든 것이42:44

괜찮으실 거예요. 이 모든 수학을 하시려면, 매싸마티카로 넘어가셔서 여기에 숫자를 입력하시면 돼요.42:48

결국 마이너스 1.244 정도가 됩니다. 네, 1.244입니다.42:53

그리고 0.12입니다43:00

네, 대략 이런 느낌이고, 여기에 북동쪽 끝날개 부분 프레임이 여기 오른쪽 있고요, 그리고 다른 것은43:03

여기서 주목할 만한 것은 X와 Y 성분만 변한다는 점이죠?43:09

Z 성분은 우리가 이야기했듯이 Z이기 때문에 변하지 않습니다.43:12

이 상황에서는 축이 완전히 똑같죠, 그렇죠?43:16

네, 만약 북동쪽 아래 방향에 계시다면, 이 날개 끝 부분을 이렇게 묘사하시면 됩니다.43:19

그래서 실제로는 이만큼 북쪽으로 이동해서 실제로 남쪽으로 이동하는 것처럼 보이네요.43:25

남쪽으로 1.2미터, 동쪽으로 1.2미터, 그리고 아래로 0.12미터 가세요.43:28

미터로 가려면 저기 여기 괜찮아요. 그러니까 저희는 거의 여기까지예요.43:34

저희가 마무리하고 싶은 부분은, 여기에 한 가지 말씀드리고 싶은 게 있습니다.43:39

여기서 그리고 기억하세요, 우리는 이 모든 과정을 돌아가는 것에 대해 유도했었습니다43:43

z축 오른쪽으로요43:48

두 프레임에 대한 회전 행렬을 구하는 것을 살펴보았습니다43:55

공통 Z축을 따라 회전하여 분리되었습니다.43:58

이 전체 유도 과정을 공통 x축을 사용하거나 공통44:03

그리고 y축의 경우, 분석은 사실상 동일합니다. 달라질 것은 구조뿐입니다.44:07

이 회전 행렬의 것입니다. 이것은 여기의 다른 위치로 이동하게 될 것이고,44:13

코사인과 사인은 이 근처에 퍼져 있을 거지만, 그 외의 형식은44:19

똑같을 거예요. 그냥 코사인, 사인, 그리고 1과 0 같은 것들만 아주 많이 있을 거예요.44:23

여기 회전 행렬에 있는데, 단순히 부호의 음수(-) 부분만 주의하시면 돼요,44:27

부정 기호는 여기에 나타납니다.44:31

나중에 이 부분에 대해서 좀 더 깊이 있게 살펴보면서, 여러 회전을 실제로 어떻게 결합할 수 있는지 알아볼 거예요.44:36

여기에 차례대로, X축, Y축, 그리고 Z축 각각에 대해 설명드리겠습니다.44:44

항공기의 오일러 각을 살펴보면서 앞으로 나아가기 위해서는 여기에서요.44:51

여기서 마무리하는 것이 좋을 것 같습니다.44:55

여기서 멈추기 좋은 장소인 것 같아요. 자, 다시 한번 영상 재미있게 봐주셨으면 좋겠어요.44:58

여기는 실제로 운동학 및 강체 역학에 관한 대규모 토론 시리즈 중 하나이니 저희와 계속 함께 해주시기를 바랍니다.45:03

우리는 위치와 가속도를 살펴볼 것이며, 회전 좌표계에서의 위치, 속도, 그리고 가속도에 대해 다룰 겁니다.45:11

비행기용 강체 시뮬레이션을 개발하는 맥락에서 말입니다.45:16

영상이 마음에 드신다면, 채널을 구독해 주세요.45:21

이런 비디오를 계속 제작하는 데 정말 도움이 돼요.45:25

그리고 여기에 댓글을 남겨주세요. 앞으로 개선할 수 있는 부분이 있는지, 여러분들이 어떻게 생각하시는지 여기에 보고 싶어요.45:28

그럼, 다음에 또 다른 영상에서 뵙기를 바라요. 안녕히 계세요.45:34