안녕하세요, 여러분. 엔지니어링 정역학 강의 비디오 시리즈의 다른 영상으로 다시 찾아뵙게 되어 반갑습니다.00:00

이번 영상에서는 새로운 내용인 위치 벡터에 대해 이야기해 보도록 하겠습니다.00:04

시작하기 전에, 여러분 모두 잘 지내고 계시길 바란다는 말씀을 드리고 싶습니다. 지금까지 공학을 즐겁게 배우고 계시길 바랍니다.00:08

두 번째 주에 일이 진짜 시작되는 걸 알기 때문에, 여러분이 잘 대처하고 너무 힘들진 않길 바라요.00:14

자, 그럼 시작하겠습니다. 지난 강의에서 3차원 벡터에 대해 이야기했었죠.00:21

그리고 저희는 그들이 기본적으로 2차원 벡터와 거의 동일하며, 관련된 모든 공식들에 대해서도 이야기했습니다.00:26

기본적으로는 거의 동일합니다. 저희가 고려해야 했던 것은 그 세 번째 요소, 즉 k에 맞춰서 조정하는 것 뿐이었습니다.00:31

3D 벡터의 구성 요소에 대해 이야기할 때, 여러분이 보게 될 세 가지 경우에 대해 말씀드렸습니다.00:37

첫 번째와 두 번째는 삼각함수와 좌표방향입니다.00:43

각도에 대한 내용이고, 전부 삼각함수와 관련된 내용인데, 제가 말씀드린 대로 훌륭하지만, 꼭 그렇다고는 할 수 없을 것 같습니다.00:46

현실적이게 느껴지는 이유는 각도가 포함되어 있기 때문입니다. 실제로 일상생활에서 각도를 직접 측정하는 경우는 흔치 않습니다.00:52

어떤 것을 측정하려고 작은 각도기까지 들고 밭에 나가시면 좀 어색해 보이실 겁니다.00:56

네, 그렇게 하겠습니다. 그럼 위치 벡터와 관련된 세 번째 방법에 대해 이야기해 보겠습니다.01:01

자, 여기서 핵심은 위치 벡터인데, 정확히 무엇인지 설명해야 할 것 같습니다.01:06

위치 벡터는 다른 위치를 기준으로 공간 상의 한 점을 나타냅니다.01:11

지금은 잘 이해가 안 되지만, 일단 쭉 살펴보면서 무엇을 찾을 수 있는지 확인해 보겠습니다.01:15

그것은 작은 화살표와 함께 'r'로 표시됩니다. 다시 한번 말씀드리겠습니다.01:19

두 좌표점 사이의 위치 벡터입니다.01:23

네, 맞습니다. 두 점 사이의 위치 벡터를 구하려면, 두 점의 좌표를 알아야 하고, 그게 전부입니다.01:27

제가 할 일은, 최종적으로 위치한 곳의 좌표에서 제 초기 좌표를 빼는 것입니다.01:33

여기 보이는 이 공식에서, 위치 벡터 a, b라고 한다면, 이것은 위치 벡터입니다.01:38

A에서 B로 이어지는 것을 의미합니다. 따라서 이것은 중요한 부분이 될 것입니다. 이것은 A에서 시작해서 B까지 이어집니다.01:44

자, 밑첨자를 살펴볼 때, 첫 번째 글자가 시작하는 위치입니다.01:49

두 번째 글자가 끝나는 지점입니다. 자, 이 위치 벡터를 얻고 싶다면, 좌표를 가져와야 합니다.01:52

제가 최종적으로 어디에 위치하게 될지를 나타내는 좌표로 B 좌표가 될 것입니다.01:59

그리고 제가 시작했던 좌표 지점으로부터 그것을 빼서 계산할 예정입니다.02:02

이 경우에는 좌표점 A가 될 것입니다. 자, 3차원 공간에서 한 번 살펴보겠습니다.02:06

저만 그런지는 모르겠지만, 많은 단어들을 보면 조금 혼란스러워요. 저는 시각적으로 확인하는 편이 좋아요.02:10

자, 예를 들어 3차원 공간이 있다고 가정해 보겠습니다. 그 3차원 공간 안에 두 점이 존재한다고 해 봅시다.02:16

보라색 점이 하나 있고, 파란색도 있습니다.02:21

이제 이 점들이 좌표와 연관될 것이라는 것을 알게 되었습니다.02:24

보통은 기하 또는 좌표를 문제로 제시할 가능성이 높습니다.02:30

이 점들 자체로도 어떤 좌표 값들이 될지 쉽게 알아볼 수 있습니다.02:34

여기서는 좌표점들을 드렸고, 이 두 점 사이에는 도형을 만들 수 있다는 것을 알고 있습니다.02:39

네, 좋습니다. 이 두 점 사이에는 직선이 그어질 겁니다.02:43

위치 벡터란 기본적으로 한 점에서 다른 점으로 향하는 벡터를 의미합니다.02:47

보라색 점부터 파란색 점까지 이동할 때, 이 위치를 벡터 PB라고 부르겠습니다.02:53

이제 제가 PB가 이런 스피드러너들을 아마 매우 흥분시킬 거라고는 알지만, 그게 그런 종류의 PB를 의미하는 건 아니에요.02:59

단순히 보라색과 파란색, P와 B일 뿐입니다. 그렇게 간단합니다. 이제 이 위치 벡터를 기억하실 때 염두에 두셔야 할 중요한 점이 있습니다.03:05

이것이 방향이 될 것입니다. 그러니 제가 P에서 B로 향할 때, 어떻게 되는지 주목해 주세요.03:13

제 화살은 보라색 점부터 시작해서 파란색 점까지 향합니다.03:17

화살표의 방향이 반대였다면, 이건 BP 위치 벡터가 될 겁니다.03:21

보스턴 피자네요. 제가 다들 흥분시킨 것 같네요.03:25

자, 예시를 하나 들어서 제가 말씀드리고 싶은 바를 좀 보여드리겠습니다.03:29

만약 제가 PB 벡터를 구하고 싶다면, 제가 최종적으로 위치하게 되는 좌표점을 사용하게 될 텐데요, 이 경우에는 파란색 점이 되겠습니까.03:32

그리고 제가 시작했던 곳에서 빼겠습니다. 이 경우에는 보라색 점입니다.03:39

제가 할 작업은 파란 점의 좌표값을 가져와서 보라색 점의 좌표값을 빼는 것입니다.03:43

이렇게 얻게 됩니다. 여기에서 벡터가 어떻게 나왔는지 잘 보세요. 첫 번째 요소는 음수 6i 입니다.03:50

어떻게 그렇게 됐죠? 음수 2에서 4를 뺐어요.03:55

두 번째 구성 요소는 5제이입니다. 어떻게 그렇게 됐냐고요? 음, 4에서 -1을 빼서 구했습니다.03:59

네, 물론 k 값의 경우, 3에서 음수 2를 빼서 계산했습니다.04:06

현재 위치 벡터는 거리를 나타내므로, 여기서는 보여드리지 않겠습니다. 음, 잘.04:10

아무튼 미국인들 때문이라서, 그리고 혼란스럽게 하고 싶지는 않지만, 이...04:15

거리가 단위로 표시될 수 있습니다. 캐나다에 계신다면 미터 단위일 수도 있습니다.04:19

센티미터 정도이거나, 아니면 미국 외의 어느 곳이든 괜찮을 것 같습니다. 물론, 그렇지만요.04:22

만약 미국에 계시다면, 거리의 단위는 피트가 사용될 것입니다.04:27

풋볼 필드나, 여러분이 거리의 단위로 사용하고 싶어 하는 것, 무엇이든 상관 없습니다.04:30

이 구성 요소들이 정확히 무엇을 의미하는 것일까요? 그 위치 벡터를 그릴 때, 우리는 그 벡터를 원점에서 바로 그렸습니다.04:36

보라색 점을 파란색 점으로, 가장 짧은 거리에 연결할 수 있습니다. 하지만 제가 원한다면, 다른 경로로 이동할 수도 있습니다.04:42

축을 따라가는 대체 경로입니다. 이 특정 경우에는 제가 5단위만큼 이동했습니다.04:46

긍정적인 y 방향으로 움직여서 5j를 얻게 되었고, 음의 x 방향으로 여섯 단위 이동했습니다.04:53

그래서 제가 음수 6i를 가지고 있게 되었습니다. 그리고 나서 저는 k 방향으로 양의 5단위를 이동했습니다.04:58

Z 방향이므로, 힘 벡터와 완전히 동일합니다. 달라지는 점은 힘 벡터를 다루는 대신...05:05

물론 힘들도 함께 고려해야 하고, 거리의 단위에 대해서도 다루게 되겠네요. 다른 점이 있다면 말씀해주세요.05:10

또 완전히 똑같네요. 제가 하나 더 말씀드리려고 합니다. 여러분께 정말 꼭 말씀드리고 싶어서요.05:15

이 점을 꼭 기억해 주세요. 제가 시험을 채점할 때 이 부분 때문에 학생들 거의 모든 학생들이 실수를 하거든요. 아마 20% 정도 될 거예요.05:21

학생들의 경우, 항상 이 함정에 빠지곤 합니다. 이 위치 벡터들의 순서가 중요합니다.05:25

P에서 B로 향하는 벡터는 B에서 P로 향하는 위치 벡터와 동일하지 않습니다.05:31

그 숫자들은 동일할 것이지만, 모두 음수 곱하기 하나로 변하게 될 것입니다.05:36

반대 방향일 거예요. 그러니 부탁드립니다.05:39

명심하시고, 10명 또는 20명으로 구성된 그룹에 항상 그런 학생이 한 명씩은 있습니다.05:42

잘못된 것을 사용하시고 나면, 다른 모든 것들도 잘못되어서, 그러다 보면 죄송한 마음이 듭니다. 왜냐하면, 당신께서 힘드셨을 테니까요.05:48

몇 가지 표시를 조작하는 것이니, 그런 함정에 빠지는 학생이 되지 마세요.05:52

알고 있습니다, 여러분이 정말 그러실 줄요.05:55

똑똑하신 분들께서 함부로 속아 넘어가실 분들은 아니시겠죠. 그럼 포지션 벡터의 특징에 대해 이야기해 보겠습니다. 기억해 주시면 좋겠습니다.05:56

데카르트 벡터 표기법으로 표현한 후에는, 그 벡터에 여러 가지 흥미로운 연산을 적용할 수 있습니다.06:03

크기의 값도 구할 수 있고, 단위 벡터도 구할 수 있고, 그런 재미있는 것들도 있죠. 저희에게 좋은 소식은요.06:08

포지션 벡터도 정확히 동일한 논리를 따릅니다. 따라서 a, b와 같은 포지션 벡터가 있다고 가정한다면, 그 벡터는...06:13

세 가지 요소로 잘 표현할 수 있습니다. 크기(magnitude)에 단위 벡터를 곱한 것으로 나타낼 수 있습니다. 무엇을 말씀하시려는지요?06:19

어떤 공식들이죠? 음, 사실 3차원 힘 벡터와 완전히 동일합니다.06:26

만약 크기를 구하고 싶다면, 제가 할 일은 그 모든 구성 요소들을 제곱한 뒤에 더하고, 다시 제곱하는 것입니다.06:31

근본적으로 말하면, 완전히 똑같습니다. 자, 이제 질문이 되는데요, 위치 벡터의 크기는 정확히 무엇일까요?06:38

이것이 제가 여러분께 드릴 첫 번째 중요한 시험 팁이 될 겁니다.06:44

위치 벡터의 크기는 실제로 두 점 사이의 거리, 즉 최단 거리를 의미합니다.06:47

지금 말씀드리는 게 중요한 이유는, 시험에서 교수님들이 자주 사용하는 표현 방식이 단어 선택을 중요하게 다루기 때문입니다.06:54

보여드리는 대신, 명시적으로 설명해 드릴 것입니다.06:58

질문에서 말씀하신 대로 점 B와 점 C 사이의 거리는 6미터입니다.07:01

지금 혹시 위치 벡터의 크기가 거리를 의미한다는 것을 모르시는 분들이 계시다면, 6미터가 여러분께는 중요한 의미를 가진다는 말씀입니다.07:06

쓸모없는 이야기입니다. 하지만 지금 여러분이 이걸 보시면, 아마 6미터, 위치라고 말씀하실 거예요.07:14

B에서 C까지의 벡터는 6과 같거나, 그 위치 벡터의 크기입니다.07:18

유닛 벡터는 어떨까요? 음, 사실 똑같을 거예요.07:22

제가 할 것은 제 위치 벡터의 각 구성 요소를 그 크기로 나누는 것입니다.07:26

힘 벡터와 똑같은 절차입니다. 제가 말씀드리는 것을 좀 더 명확하게 보여드리기 위해 간단한 예시를 하나 들어보겠습니다.07:32

이전 슬라이드에서는 보라색 점부터 파란색 점까지 향하는 위치 벡터가 있었습니다.07:38

그리고 저희는 이를 음6i 더하기 5j 더하기 5k로 결정했습니다.07:43

만약 제가 크기를 다시 원한다면, 제가 하는 말은…07:48

제가 할 일은, 음수 6, 5, 그리고 다른 5개를 가져다 쓰는 것입니다. 제가...07:51

모두 제곱한 뒤에 더해서 제곱근을 구하면 9.27이 됩니다.07:56

저기요, 클레이튼 씨, 제가 말씀드리면, 이 값이 무슨 뜻인지 잘 기억이 안 나는데, 혹시 설명해주실 수 있을까요?08:00

네, 저 두 지점 사이의 실제 거리는 9.27입니다.08:05

이제 9.27을 활용하여 이 위치 벡터의 단위 벡터를 결정할 수 있습니다.08:09

다시 한번 말씀드리지만, 제가 하고 있는 일은 각 구성 요소들을 크기로 나누는 것입니다.08:16

예를 들어, 제가 음의 6i를 가지고 있을 때, 음의 6을 9.27로 나누려고 할 겁니다.08:20

그것은 단위 벡터를 위한 제 i 성분이 될 것입니다.08:27

결국, 제가 구한 단위 벡터는 이것과 같습니다. 여러분께서는 아마 ‘그것은 그림으로 보면 어떤 모습일까요?’라고 질문하실 수도 있겠네요.08:31

음, 단위 벡터는 그 역할이 오직 그거라는 것을 기억해 주십시오.08:38

방향을 정의하는 것입니다. 만약 제가 이 그림에 단위 벡터를 그릴 수 있다면, 그 벡터는 어느 방향으로 향하고 있다는 것을 알 수 있습니다.08:40

그것은 단순히 위치 벡터의 방향을 보여주는 것과 비슷한 형태일 것입니다.08:45

다른 일은 하지 않고 방향을 가리키는 것뿐인데, 질문은 우리가 이야기하고 있는 동안이라는 것이 됩니다.08:49

힘 벡터에 대해 질문이시군요. 위치 벡터와 힘 벡터는 어떻게 관련이 있을까요? 사실, 관련이 있습니다.08:56

만약 힘 벡터와 위치 벡터가 같은 방향으로 정렬되어 있다면 매우 중요합니다.09:01

만약 방향이 같다면, 단위 벡터도 같습니다.09:07

이 부분이 특히 중요해질 곳이 바로 여기입니다. 앞서 말씀드린 사례를 예로 들어볼게요. 두 점이 있다고 가정해 봅시다.09:13

하지만 문제에서는 이 두 지점 사이에 힘 벡터가 있다고 되어 있습니다.09:20

그리고 이 힘 벡터는 점 P에서 시작하여 점 B에서 끝납니다.09:24

그리고 이것은 매우 현실적입니다. 실제로 나가서 케이블을 측정해 보신다면 아실 겁니다.09:28

케이블의 시작점과 끝점을 알게 되시면 좌표 정보도 아실 수 있을 겁니다.09:35

이렇게 되는군요.09:38

지금까지 말씀드린 힘 벡터는 그 방향과 일치하는 단위 벡터를 가지고 있습니다. 만약 우리가...09:40

음, 요약하자면 이 힘 벡터는 사실 크기에 곱해진 값을 합한 것과 같습니다.09:47

단위 벡터입니다.09:54

이전 슬라이드에서 말씀드린 것처럼, 보라색 부분에서 시작하는 위치 벡터가 있을 때도 있습니다.09:55

파란 점을 가리키면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.10:02

위치 벡터가 그 위치 벡터의 크기와 위치 벡터의 단위 벡터의 곱으로 같음을 의미합니다.10:05

벡터입니다.10:12

여기서 중요한 점은, 그들이 같은 방향을 향하고 있다면, 실제로는 완전히 동일하다는 것을 깨달아야 한다는 것입니다.10:13

단위 벡터가 핵심입니다. 그들은 동일한 단위 벡터를 가지고 있습니다.10:20

따라서, 저는 조금 더 복잡한 대수 연산을 활용하여, 힘 벡터를 표현할 수 있습니다. 만약 제가 힘 벡터를 나타내고 싶다면, 그 벡터를 특정 식으로 표현할 수 있습니다.10:25

제 위치 벡터에 대한 부분입니다. 제가 할 것은 위치 벡터에 대한 제 공식을 가져와서 적용할 것입니다.10:32

단위 벡터 PV가 단순히 저의 위치를 나타내는 방식으로 재배열될 것입니다.10:38

벡터 PV를 크기로 나눈 후, 그 좋은 관계식을 치환할 것입니다.10:44

위쪽으로 그걸 제 힘 벡터 방정식에 넣어주면, 제 힘 벡터에 대한 방정식을 얻게 됩니다. 제 힘 벡터는...10:50

벡터는 사실 힘 벡터의 크기에 위치를 곱한 것과 같습니다.10:56

그 위치 벡터의 크기로 나눈 벡터입니다.11:02

그 힘 벡터 pb를 다시 얻게 되면요.11:05

데카르트 벡터 표기법으로 표현될 것이기 때문에, 세 가지 구성 요소 모두 포함될 예정입니다.11:08

세 가지 구성 요소를 모두 잘 이해하고 있다면, 이 위치 벡터들을 활용하여 결론을 내릴 수 있습니다.11:12

우리의 힘 벡터의 모든 구성 요소를 정확히 결정할 수 있습니다.11:18

그래서 포지션 벡터가 이렇게 중요한 이유이고, 제가 이것을 제3의 경우라고 부르는 이유입니다.11:21

요컨대, 컴포넌트와 힘을 다룰 때 세 가지 경우가 발생할 수 있다는 점을 기억해 주시면 됩니다.11:26

하나를 트리곤 케이스라고 부르는데, 여기서는 두 각을 주시는 겁니다. 하나는 xy 평면에 있고, 다른 하나는 벡터를 향하게 되는 거죠.11:30

좌표 방향각의 경우, 세 개의 좌표 방향각을 모두 가지고 있으며, 이제 이것은...11:37

세 번째 경우는 여러분께 특정 각도를 제시하는 대신, 두 개의 점을 제공하는 경우입니다.11:42

이 힘 벡터의 작용선입니다. 만약 그 두 점을 알려주신다면 위치를 설정할 수 있습니다.11:48

그런 다음 벡터로 표현한 후, 일반적인 형식으로 힘 벡터 문제를 해결할 수 있습니다.11:53

클레이튼 씨, 아마 지금 많은 정보가 주어져서 조금 혼란스러우실 거라고 생각합니다. 그렇게 느끼셔도 괜찮습니다.11:58

처음에 이걸 보았을 때, 진짜인지, 이게 맞는지 다시 한번 확인해야 했어요. 왜냐하면 엉망처럼 보였거든요.12:04

다시 한번 말씀드리지만, 모든 영상에서 말씀드릴게요. 배우는 가장 좋은 방법은12:09

물론 예시를 통해 설명드리겠습니다. 아래 설명란을 확인하시면 예시를 준비해 두었습니다.12:15

혹시 두 편 정도 만들어서 포지션 벡터로부터 어떻게 힘 벡터를 결정하는지 보여드리려고 합니다. 굉장히 중요합니다.12:19

앞으로 나아가는 데, 특히 4주 차에 있어서 중요한 부분입니다. 관련 영상들이 있을 텐데, 잘 모르겠습니다.12:25

칠 팔 구 정도, 혹은 그 비슷한 위치 벡터들이 정말 곳곳에 아주 많이 분포할 겁니다.12:29

혹시 여러분 모두 위치 벡터에 대해 알고 계신지 확인 부탁드립니다. 앞으로 여러 번 사용될 예정입니다.12:36

네, 여기까지 하겠습니다. 시청해주셔서 정말 감사합니다. 즐거우셨기를 바랍니다.12:40

좋은 하루 보내시고, 다음 강의 영상에서 또 만나요.12:45