오일러는 일반적인 회전을 기술하는 데 세 개의 좌표가 필요하며, 이 좌표들이00:00

오일러 각이라고 불립니다.00:07

오일러 각이 어떻게 작동하는지 보여드리기 위해, 세 번의 연속적인 회전을 생각해보시면 좋을 것 같아요.00:11

A 프레임에서 B 프레임으로 가는 첫 번째 회전과, B 프레임에서 C 프레임으로 가는 두 번째 회전이 있습니다.00:20

C에서 D로 가는 세 번째입니다. 그00:27

오일러 각의 핵심 아이디어는 만약 제가 회전 A에서 D로 설명하고 싶다면,00:31

이것을 세 번의 순차적인 회전, A에서 B, B에서 C, 그리고 C에서 D로 나눌 수 있습니다.00:39

그리고 이렇게 중간 회전값들을 단순히 곱하시면 됩니다.00:48

B에서 A로 회전한 다음, C에서 B로, 그리고 D에서 C로 진행하시면 돼요.00:53

그리고 D에서 A로 회전하는 움직임으로 왼편에 있게 되십니다.00:58

이 사진을 보시면, A1을 기준으로 하는 첫 번째 회전이 보입니다.01:06

각도 파이를 통해 x축을 중심으로 회전하는 것입니다.01:12

그리고 그것을 통해 B1, B2, B3에 도달하실 수 있게 해줍니다.01:17

두 번째 회전은 벡터 B2에 관한 것입니다.01:21

그리고 그것이 C1, C2, 그리고 C3에 도달하게 해 줍니다.01:24

두 번째 회전은 각도 파이를 지나갑니다.01:28

그리고 마침내 세 번째 회전, 즉 벡터 C3에 관한 것입니다.01:33

그리고 각도 세타를 통과합니다.01:39

따라서 x축을 통해 psi만큼, y축을 통해 phi만큼 회전하는 것을 단순히 곱해주면01:42

그리고 세 번째 축을 통해 세타를 거치면, 전체 회전량을 얻게 됩니다.01:49

A 프레임에서 D 프레임까지입니다.01:54

다시 말씀드리지만, 여기서의 명명법은 변위와 다음을 모두 지칭하는 것입니다01:58

변화들.02:05

자, 만약 위에 첨자로 a, 아래에 첨자로 d가 있는 회전식을 본다면,02:07

두 가지 목적을 합니다.02:14

d1, d2, d3로 표현된 벡터들을 벡터로 변환할 수 있습니다.02:17

구성 요소가 a1, a2, a3으로 표현된02:24

또한, 강체가 초기 방향에서 변위되었다는 사실을 나타낼 수도 있습니다.02:27

프레임 A에서 프레임 D의 새로운 방향으로 변환합니다.02:35

여기 보이시는 세 각도는 롤, 피치, 요 각도입니다.02:39

축이 A1을 따라 배열된 차량을 상상해 보세요.02:45

첫 번째 회전은 롤 회전입니다.02:51

두 번째 회전은 두 번째 축을 중심으로 하는 피칭 동작이며,02:54

B2입니다. 세 번째 각도는 요 회전입니다.03:01

그것은 C3인 세 번째 축에 관한 것입니다.03:07

오일러는 임의의 회전은 서로 선형 독립인 세 개의 축을 중심으로 하는 세 번의 연속적인 회전으로 기술될 수 있다고 말했습니다.03:14

그러면 방금 설명해 드린 것처럼 오일러 각이 세 개 있으시다면,03:23

여기서 3x3 회전 행렬을 추론하실 수 있습니다.03:29

스스로에게 던져야 할 질문은 그 역(逆)도 성립하는가 하는 것입니다.03:33

다시 말해, 모든 회전 행렬에 대해 유일한 오일러 각의 집합이 존재하나요?03:37

다시 말해서, 이 세 좌표와 세 오일러 각 사이의 매핑은요03:44

회전 행렬 말씀이신 건가요? 이 지도가 일대일 대응인가요?03:52

그리고 그 답은 아니에요. 거의 일대일 매핑이긴 해요.03:55

하지만 지표면상의 북극점과 남극점에 비유되는 특정 지점들이 있습니다.04:01

오일러 각이 잘 정의되지 않는 지점에서요.04:07

이 오일러 각도 세트는 종종 XYZ 오일러 각도라고 불립니다.04:13

그리고 그것은 이 회전 행렬들이 곱해지는 순서 때문입니다04:19

X축을 중심으로 회전하는 것에 이어, Y축을 중심으로 회전하고, 마지막으로 Z축을 중심으로 회전합니다.04:26

다른 종류의 오일러 각도도 사용하실 수 있습니다.04:34

이 특정 각도는 ZYZ 오일러 각이라고 불립니다.04:37

따라서, 첫 번째 회전은 Z축에 관한 것입니다.04:42

Z축을 따라 파이만큼 회전하십니다.04:47

그리고 두 번째 회전은 세타를 통과하는 Y축에 대한 것입니다.04:51

그리고 세 번째 회전은 Z축을 따라 세타만큼의 회전입니다.04:56

모든 회전은 물체에 고정된 축을 중심으로 발생한다는 점에 유의하십시오.05:05

첫 번째 회전을 완료하시면, y축을 중심으로 한 두 번째 회전이 있어요05:10

이제는 새로운 y축에 관한 것입니다.05:18

첫 번째 회전이 원래의 y축을 새로운 위치로 회전시켰기 때문입니다.05:21

z축을 중심으로 두 번 회전한다고 해도, 질문해야 할 것은요,05:27

그것들은 같은 z축인가요, 아니면 다른가요? 즉, 이 세 축이 선형 독립인가요?05:35

두 z축이 서로 일직선이 아니라는 것을 보실 수 있습니다.05:42

그들은 독립적이에요.05:46

이러한 조건이 만족된다면, 세 각은 오일러 각입니다.05:49

그리고 그들은 회전 세트를 매개변수화할 수 있습니다.05:55

오일러 각도가 0인 경우, 즉 세타가 0인 경우에 유의하시기 바랍니다.06:01

문제에 부딪히실 수도 있어요.06:08

그러면 세타가 0이 되면 두 z축이 일직선상이 돼요.06:11

결과적으로 선형 독립 조건을 갖지 못하게 됩니다.06:16

다시 말해서, 회전을 수행하시는 세 축은 더 이상 독립적이지 않습니다.06:22

따라서 세타가 0과 같다는 것은 지구의 북극이나 남극에 위치하는 것과 유사합니다.06:29

더 깊이 탐구하기 위해, 관련된 계산 내용들을 자세히 살펴보겠습니다.06:35

회전 행렬에서 세 개의 오일러 각도로 가는 것보다요.06:42

제가 알고 있는 회전 행렬, 즉 숫자 아홉 개가 있다는 것을 전제로 하고 있습니다.06:48

세 오일러 각, 파이, 세타, 그리고 프사이 값을 복원하고 싶습니다.06:53

이것을 하기 위해서, 결과를 글로 쓸 수 있습니다.06:58

세 회전 행렬을 곱한 값, 즉 z축을 중심으로 하는 회전입니다.07:03

y축을 중심으로 회전한 다음, z축을 중심으로 회전합니다.07:09

첫 번째는 파(phi)를 통해, 두 번째는 세타(theta)를 통해, 그리고 세 번째는 프사이(psi)를 통해서입니다.07:14

그렇게 하여 이 두 가지를 같다고 간주할 수 있습니다.07:20

가장 오른쪽 아래의 요소를 같다고 놓으면, R을 알면요,07:24

세타가 무엇인지 계산할 수 있어요.07:33

그래서 그 방정식이 제가 세타가 무엇인지 알려줍니다.07:38

마찬가지로, 제가 세타가 무엇인지 안다면 원소를 살펴보고 파이가 무엇인지 계산할 수 있습니다.07:44

실제로 같은 정보를 알려주는 두 번째 방정식도 있습니다.07:52

이 요소는 제가 세타를 안다면, 파이가 무엇인지 알려주기도 합니다.07:57

그리고 마지막으로, 그 요소와08:05

그 요소가 파이가 무엇인지 알려줍니다.08:11

세타가 무엇인지 알면, 이 방정식들로 파이를 계산할 수 있어요.08:17

만약 요소가 0이 아니면, 저희가 세타를 계산할 수 있습니다.08:23

역코사인 함수를 이용해서 계산하시면 됩니다.08:29

물론, 역 코사인 함수에는 다소의 모호성이 있습니다.08:33

그리고 그 때문에 세타의 부호를 모르시는 거예요.08:38

긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. 하지만 그런 모호성을 제외한다면, 세타를 결정할 수 있습니다.08:41

그리고 세타를 알게 되면 계산할 수 있습니다08:49

역탄젠트 함수를 이용하여 시와 파이를 구합니다.08:53

PSI와 PHI 각각에 대해 두 가지 정보가 있는 것을 알게 되실 겁니다.08:59

그리고 그런 이유 때문에, 저희는 표준 역탄젠트 함수를 사용하지 않아요.09:04

저희는 atan2라는 함수를 사용합니다. atan2 함수는09:09

역삼각 탄젠트 함수에 존재하는 모호성을 극복하는 데 도움을 줍니다.09:15

전통적인 아크탄젠트 함수가 각도를 구하기 위해 하나의 방정식만 사용하는 것과는 다르게,09:21

여기서는 같은 각도에 대한 두 개의 방정식이 있다는 사실을 이용합니다.09:27

역삼각 탄젠트 함수, 즉 아크탄젠트 함수가 이것을 가능하게 해줍니다.09:31

이 방정식들에서 보시다시피, 우리는 두 가지의 오일러 각 세트를 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다.09:37

그리고 이것은 거의 모든 회전 행렬에 대해 사실입니다.09:41

이러한 방정식들은 R33의 크기가 다음과 같지 않다고 가정하고 도출되었습니다.09:47

1보다 작습니다. 그렇다면 R33의 크기가 1과 같으면 어떻게 될까요?09:54

플러스 1이 될 수도 있고, 마이너스 1이 될 수도 있어요.10:00

이러한 경우에는,10:07

각도 세타가 같다는 것을 쉽게 보실 수 있어요10:09

0 또는 파이로, 그리고 두 가지 대안이 있습니다.10:15

두 경우 모두에서, 여러분은 ~을 보실 수 있을 거예요10:22

회전 행렬들이 오직 두 각도의 합에 의해서만 결정되는 용어들의 그룹10:26

파이와 프사이입니다.10:33

다시 말해, 파이나 싸이 중 어느 것도 유일하게 결정하는 것은 불가능해요.10:35

주어진10:41

하나는 다른 하나를 결정할 수 있지만, 파이와10:43

그룹화된 항목들만 조합하는 성질을 가지고 있기 때문입니다.10:49

따라서 R33이 플러스 1 또는 마이너스 1과 같으면 무한한 집합이 됩니다.10:54

오일러 각도요. 저희의 대부분의 작업에서는 다른 세트의 오일러 각도를 사용합니다.11:02

이것들은 ZXY 오일러 각도입니다.11:08

그리고 다시, 우리가 고려하는 세 개의 회전 행렬 때문에 그렇게 불립니다.11:11

Z축을 중심으로 하는 $ ext{Psi}$ 회전 이후에 $ ext{Phi}$ 각도로 X축을 중심으로 회전하는 것11:16

그리고 Y축을 따라 세타만큼 회전합니다.11:23

회전을 곱하여 확인하실 수 있을 거예요.11:27

슬라이드에 제시된 형태를 가진 회전 행렬을 얻게 됩니다.11:30

유클리드 각을 가진 모든 경우에 대해 봤습니다.11:37

오일러에 대해서 적어도 두 가지 해답이 있을 수도 있습니다11:42

주어진 회전 행렬에 대한 각도입니다.11:46

어떤 지점에서는 무한한 해답을 가질 수 있습니다.11:49

사실 원하시는 것은 무한한 해를 가지는 지점의 점들을 다룰 수 있는 두 번째 오일러 각 세트입니다.11:58

그러니 이것은 여러분이 많은, 아주 많은 오일러를 가지고 있을 수 있음을 시사합니다.12:04

무한한 해결책이 있는 상황을 겪지 않으시도록 고려해 보셔야 할 부분이요.12:10

그래서 우리가 물어봐야 할 질문은, 순서각의 최소 집합의 개수는 무엇일까요?12:17

모든 회전 그룹을 다 다뤄야 하나요?12:21